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Probabilités conditionnelles, indépendance et arbre pondéré

MATHÉMATIQUES · Terminale Spécialité

Probabilités conditionnelles, indépendance et arbre pondéré

Cours structuré du programme français : probabilités conditionnelles, formule des probabilités totales, indépendance d'événements et exercices types corrigés pour le Bac.

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OBJECTIFS DU CHAPITRE

Ce que l’élève doit maîtriser

01

Compétence 1

Construire et exploiter un arbre pondéré en appliquant la règle du produit sur les branches.

02

Compétence 2

Maîtriser et appliquer rigoureusement la formule des probabilités totales.

03

Compétence 3

Démontrer l’indépendance de deux événements et calculer PA(B)P_A(B).

# Probabilités conditionnelles

DÉFINITION

Probabilité conditionnelle

Soient AA et BB deux événements d’un univers Ω\Omega, avec P(A)≠0P(A) \neq 0. La probabilité conditionnelle de l’événement BB sachant que AA est réalisé, notée PA(B)P_A(B), est définie par :
PA(B)=P(A∩B)P(A)P_A(B) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}
PROPRIÉTÉ

Formule du produit

Pour tous événements AA et BB avec P(A)>0P(A) > 0 :
P(A∩B)=P(A)×PA(B)=P(B)×PB(A)P(A \cap B) = P(A) \times P_A(B) = P(B) \times P_B(A)
Dans un arbre pondéré, la probabilité d’un chemin est le produit des probabilités portées par ses branches.
MÉTHODE

Lecture d'un arbre pondéré

1. La somme des probabilités issues d’un même nœud est toujours égale à 1. 2. Une branche secondaire partant de AA vers BB porte toujours la probabilité conditionnelle PA(B)P_A(B). 3. Pour trouver l’intersection P(A∩B)P(A \cap B), on multiplie le long du chemin reliant la racine à l’extrémité.

# Formule des probabilités totales

PROPRIÉTÉ

Théorème des probabilités totales

Soient A1,A2,…,AnA_1, A_2, \dots, A_n formant une partition de l’univers Ω\Omega (c’est-à-dire des événements deux à deux disjoints dont la réunion est Ω\Omega). Pour tout événement BB, on a :
P(B)=∑k=1nP(Ak∩B)=P(A1)×PA1(B)+P(A2)×PA2(B)+⋯+P(An)×PAn(B)P(B) = \sum_{k=1}^{n} P(A_k \cap B) = P(A_1) \times P_{A_1}(B) + P(A_2) \times P_{A_2}(B) + \dots + P(A_n) \times P_{A_n}(B)

# Indépendance de deux événements

DÉFINITION

Événements indépendants

Deux événements AA et BB sont dits indépendants si et seulement si :
P(A∩B)=P(A)×P(B)P(A \cap B) = P(A) \times P(B)
Si P(A)≠0P(A) \neq 0, cela équivaut à écrire :
PA(B)=P(B)P_A(B) = P(B)

# Exercices types corrigés

EXERCICE

Exercice 1 : Dépistage et probabilités totales

Une maladie touche 2%2\% d’une population. On dispose d’un test de dépistage : – Si un individu est malade (MM), le test est positif (TT) dans 95%95\% des cas (PM(T)=0,95P_M(T) = 0{,}95). – Si un individu est sain (M‾\overline{M}), le test est négatif dans 98%98\% des cas (PM‾(T‾)=0,98P_{\overline{M}}(\overline{T}) = 0{,}98).

Questions :
1. Calculer la probabilité qu’un individu pris au hasard ait un test positif : P(T)P(T).
2. Sachant que le test est positif, quelle est la probabilité que l’individu soit réellement malade ?

Afficher le corrigé détaillé
1. Les événements MM et M‾\overline{M} forment une partition de la population. D’après la formule des probabilités totales :
P(T)=P(M∩T)+P(M‾∩T)=P(M)×PM(T)+P(M‾)×PM‾(T)P(T) = P(M \cap T) + P(\overline{M} \cap T) = P(M) \times P_M(T) + P(\overline{M}) \times P_{\overline{M}}(T)

On a P(M)=0,02P(M) = 0{,}02, P(M‾)=0,98P(\overline{M}) = 0{,}98, PM(T)=0,95P_M(T) = 0{,}95 et PM‾(T)=1−0,98=0,02P_{\overline{M}}(T) = 1 – 0{,}98 = 0{,}02.
P(T)=(0,02×0,95)+(0,98×0,02)=0,0190+0,0196=0,0386P(T) = (0{,}02 \times 0{,}95) + (0{,}98 \times 0{,}02) = 0{,}0190 + 0{,}0196 = 0{,}0386

La probabilité qu’un test soit positif est donc de 3,86%3{,}86\%.

2. On cherche PT(M)P_T(M) :

PT(M)=P(M∩T)P(T)=0,01900,0386≈0,4922P_T(M) = \frac{P(M \cap T)}{P(T)} = \frac{0{,}0190}{0{,}0386} \approx 0{,}4922

Il y a environ 49,2%49{,}2\% de chances que la personne soit malade sachant que son test est positif (effet des faux positifs dans une population peu touchée).

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