Suites numériques : définition, arithmétique, géométrique, variations et limites

OBJECTIFS DU CHAPITRE

Ce que l’élève doit maîtriser

01

Compétence 1

Distinguer une suite définie par une formule explicite $u_n = f(n)$ d’une suite définie par récurrence $u_{n+1} = f(u_n)$ et calculer leurs termes.

02

Compétence 2

Maîtriser les suites arithmétiques : caractérisation, forme explicite $u_n = u_0 + nr$ , alignement graphique et somme des premiers entiers.

03

Compétence 3

Maîtriser les suites géométriques : caractérisation, forme explicite $u_n = u_0 q^n$ et somme des premières puissances.

04

Compétence 4

Déterminer le sens de variation d’une suite en appliquant la méthode adaptée (différence $u_{n+1} – u_n$ , quotient, fonction associée).

05

Compétence 5

Conjecturer graphiquement ou numériquement la limite finie ou infinie d’une suite lorsque $n$ tend vers $+\infty$ .

# Modes de génération d'une suite

DÉFINITION

Suite numérique et vocabulaire

Une suite numérique est une fonction $u : n \mapsto u(n)$ définie sur l’ensemble des entiers naturels $\mathbb{N}$ (ou pour $n \ge n_0$ ) et à valeurs dans $\mathbb{R}$ .

L’image d’un entier $n$ est notée $u_n$ (se lit « $u$ indice $n$ ») et s’appelle le terme de rang $n$ (ou terme général).
La suite est notée globalement $(u_n)$ ou $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ .
Dans un repère, une suite est représentée par un nuage de points isolés de coordonnées $(n\,;\, u_n)$ . On ne relie jamais les points d’une suite par un trait continu.

PROPRIÉTÉ

Formule explicite versus Relation de récurrence

Formule explicite : $u_n = f(n)$ .

Chaque terme se calcule directement à partir de son rang $n$ , sans avoir besoin de connaître les termes antérieurs.
Exemple : $u_n = 2n + 1 \implies u_{10} = 2 \times 10 + 1 = 21$ .

Relation de récurrence : $u_{n+1} = f(u_n)$ avec un premier terme $u_0$ fixé.

Chaque terme se calcule de proche en proche à partir du terme qui le précède.
Exemple : $u_0 = 5$ et $u_{n+1} = 3u_n \implies u_1 = 3 \times 5 = 15$ , puis $u_2 = 3 \times 15 = 45$ .

# Suites arithmétiques et somme des premiers entiers

DÉFINITION

Suite arithmétique

Soit $u_0 \in \mathbb{R}$ . Une suite $(u_n)$ est dite arithmétique s’il existe un nombre réel $r$ , appelé raison de la suite, tel que pour tout entier naturel $n$ :

u_{n+1} = u_n + r

Pour passer d’un terme au suivant, on ajoute toujours la même constante $r$ . La différence $u_{n+1} – u_n = r$ est constante.

PROPRIÉTÉ

Formules explicites d'une suite arithmétique

Soit $(u_n)$ une suite arithmétique de raison $r$ :

À partir du premier terme $u_0$ : pour tout $n \in \mathbb{N}$ ,

u_n = u_0 + nr

À partir d’un terme quelconque $u_p$ : pour tous entiers naturels $n$ et $p$ ,

u_n = u_p + (n – p)r

Représentation graphique : dans un repère, les points $(n\,;\, u_n)$ d’une suite arithmétique sont strictement alignés sur la droite d’équation $y = rx + u_0$ .

FORMULE

Somme des premiers entiers consécutifs

Pour tout entier naturel $n \ge 1$ :

1 + 2 + 3 + \dots + n = \sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n + 1)}{2}

Formule générale pour toute suite arithmétique :

S = (\text{Nombre de termes}) \times \frac{\text{Premier terme} + \text{Dernier terme}}{2}

# Suites géométriques et somme des premières puissances

DÉFINITION

Suite géométrique

Soit $u_0 \in \mathbb{R}$ . Une suite $(u_n)$ est dite géométrique s’il existe un nombre réel $q$ , appelé raison de la suite, tel que pour tout entier naturel $n$ :

u_{n+1} = q \times u_n

Pour passer d’un terme au suivant, on multiplie toujours par la même constante $q$ . Si tous les termes sont non nuls, le quotient $\frac{u_{n+1}}{u_n} = q$ est constant.

PROPRIÉTÉ

Formules explicites d'une suite géométrique

Soit $(u_n)$ une suite géométrique de premier terme $u_0$ et de raison $q$ :

À partir du premier terme $u_0$ : pour tout $n \in \mathbb{N}$ ,

u_n = u_0 \times q^n

À partir d’un terme quelconque $u_p$ : pour tous entiers naturels $n$ et $p$ ,

u_n = u_p \times q^{n – p}

FORMULE

Somme des premières puissances d'un réel $q$

Pour tout réel $q \neq 1$ et pour tout entier naturel $n \ge 0$ :

1 + q + q^2 + q^3 + \dots + q^n = \sum_{k=0}^{n} q^k = \frac{1 – q^{n+1}}{1 – q}

Formule générale pour toute suite géométrique ( $q \neq 1$ ) :

S = \text{Premier terme} \times \frac{1 – q^{\text{Nombre de termes}}}{1 – q}

# Sens de variation d'une suite

DÉFINITION

Sens de variation

Soit $(u_n)$ une suite numérique définie pour $n \ge n_0$ :

$(u_n)$ est croissante si pour tout $n \ge n_0$ , $u_{n+1} \ge u_n$ (strictement croissante si $u_{n+1} > u_n$ ).
$(u_n)$ est décroissante si pour tout $n \ge n_0$ , $u_{n+1} \le u_n$ (strictement décroissante si $u_{n+1} < u_n$ ).
$(u_n)$ est constante si pour tout $n \ge n_0$ , $u_{n+1} = u_n$ .
Une suite est dite monotone lorsqu’elle est soit croissante, soit décroissante.

MÉTHODE

Trois méthodes d'étude du sens de variation

Méthode universelle (Signe de la différence $u_{n+1} – u_n$ ) :

On calcule $u_{n+1} – u_n$ et on étudie son signe.

Si $u_{n+1} – u_n \ge 0$ , la suite est croissante.
Si $u_{n+1} – u_n \le 0$ , la suite est décroissante.

Méthode du quotient (pour une suite à termes strictement positifs $u_n > 0$ ) :

On calcule le quotient $\frac{u_{n+1}}{u_n}$ et on le compare au nombre 1.

Si $\frac{u_{n+1}}{u_n} \ge 1$ , la suite est croissante.
Si $\frac{u_{n+1}}{u_n} \le 1$ , la suite est décroissante.

Méthode de la fonction associée (Formule explicite $u_n = f(n)$ ) :

Si la fonction $f$ est dérivable et monotone sur $[0\,;\, +\infty[$ , alors la suite $(u_n)$ a le même sens de variation que la fonction $f$ .

PROPRIÉTÉ

Variations des suites arithmétiques et géométriques

Suite arithmétique de raison $r$ :

Si $r > 0$ , la suite est strictement croissante.
Si $r < 0$ , la suite est strictement décroissante.
Si $r = 0$ , la suite est constante.

Suite géométrique de type $(q^n)$ avec $q > 0$ :

Si $q > 1$ , la suite $(q^n)$ est strictement croissante.
Si $0 < q < 1$ , la suite $(q^n)$ est strictement décroissante.
Si $q = 1$ , la suite est constante ( $q^n = 1$ ).
Si $q < 0$ , la suite alterne de signe et n’est pas monotone.

Pour une suite $u_n = u_0 q^n$ ( $q > 0$ ), le sens est inversé si $u_0 < 0$ .

# Notion intuitive de limite d'une suite

DÉFINITION

Comportement asymptotique

S’intéresser à la limite d’une suite $(u_n)$ , c’est observer le comportement des termes $u_n$ lorsque le rang $n$ devient arbitrairement grand (« lorsque $n$ tend vers $+\infty$ »).

PROPRIÉTÉ

Les trois comportements asymptotiques

Limite finie (Convergence) :

Les termes $u_n$ se rapprochent aussi près que l’on veut d’un nombre réel fixe $L$ . On dit que la suite converge vers $L$ et on note :

\lim_{n \to +\infty} u_n = L

Exemples : $\lim_{n \to +\infty} \frac{1}{n} = 0 \quad$ et $\quad \lim_{n \to +\infty} \frac{4n – 5}{2n + 3} = 2$ .

Limite infinie (Divergence vers l’infini) :

Les termes $u_n$ deviennent aussi grands que l’on veut. On note :

\lim_{n \to +\infty} u_n = +\infty \qquad \text{ou} \qquad \lim_{n \to +\infty} u_n = -\infty

Exemples : $\lim_{n \to +\infty} n^2 = +\infty \quad$ et $\quad \lim_{n \to +\infty} (16 – 2n) = -\infty$ .

Absence de limite (Divergence par oscillation) :

Certaines suites ne se stabilisent vers aucune valeur finie ni ne partent à l’infini.
Exemple : $u_n = (-1)^n$ oscille indéfiniment entre $1$ et $-1$ et n’admet pas de limite.

# Tableau comparatif : Arithmétique versus Géométrique

PROPRIÉTÉ

Synthèse générale des suites du programme

\begin{array}{|c|c|c|} \hline \text{\textbf{Propriété}} & \text{\textbf{Suite Arithmétique}} & \text{\textbf{Suite Géométrique}} \\ \hline \text{Relation de récurrence} & u_{n+1} = u_n + r & u_{n+1} = q \times u_n \\ \hline \text{Formule explicite } (u_0) & u_n = u_0 + nr & u_n = u_0 \times q^n \\ \hline \text{Formule explicite } (u_p) & u_n = u_p + (n – p)r & u_n = u_p \times q^{n – p} \\ \hline \text{Sens de variation} & r > 0 \implies \text{Croissante} & q > 1 \ (u_0 > 0) \implies \text{Croissante} \\ & r < 0 \implies \text{Décroissante} & 0 < q < 1 \ (u_0 > 0) \implies \text{Décroissante} \\ \hline \text{Allure graphique} & \text{Points isolés alignés} & \text{Points sur courbe exponentielle} \\ \hline \text{Somme des termes} & S = (\text{nb}) \times \frac{\text{premier} + \text{dernier}}{2} & S = \text{premier} \times \frac{1 – q^{\text{nb}}}{1 – q} \ (q \neq 1) \\ \hline \end{array}

# Exercices d'application du cours (avec solutions)

EXERCICE

Application 1 : Calculer des termes d'une suite (Section 1)

Soit la suite $(u_n)$ définie pour tout entier naturel $n$ par : $u_n = 3n^2 – 2n + 1$ .

a. Calculer le terme de rang 5, puis le 10^e terme.
b. Déterminer l’expression en fonction de $n$ des termes $u_{n+1}$ et $u_{2n}$ .

Soit la suite $(v_n)$ définie par $v_0 = 1$ et, pour tout $n \in \mathbb{N}$ , $v_{n+1} = 0{,}5v_n + 4$ . Calculer $v_3$ .
Soit la suite $(w_n)$ définie par $w_0 = \frac{3}{2}$ et, pour tout $n \in \mathbb{N}$ , $w_{n+1} = 2w_n(1 – w_n) + 2$ . Calculer $w_2$ .

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a. Le terme de rang 5 est $u_5$ :

u_5 = 3 \times 5^2 – 2 \times 5 + 1 = 3 \times 25 – 10 + 1 = 75 – 10 + 1 = 66

Le premier terme de la suite étant $u_0$ (terme de rang 0), le 10^e terme est le terme de rang 9, noté $u_9$ :

u_9 = 3 \times 9^2 – 2 \times 9 + 1 = 3 \times 81 – 18 + 1 = 243 – 18 + 1 = 226

b. Pour $u_{n+1}$ , on remplace chaque occurrence de $n$ par $(n + 1)$ :

u_{n+1} = 3(n + 1)^2 – 2(n + 1) + 1 = 3(n^2 + 2n + 1) – 2n – 2 + 1 = 3n^2 + 6n + 3 – 2n – 1 = 3n^2 + 4n + 2

Pour $u_{2n}$ , on remplace $n$ par $(2n)$ :

u_{2n} = 3(2n)^2 – 2(2n) + 1 = 3 \times 4n^2 – 4n + 1 = 12n^2 – 4n + 1

Pour calculer $v_3$ , on calcule successivement les termes de proche en proche :

$v_1 = 0{,}5 \times v_0 + 4 = 0{,}5 \times 1 + 4 = 4{,}5$
$v_2 = 0{,}5 \times v_1 + 4 = 0{,}5 \times 4{,}5 + 4 = 2{,}25 + 4 = 6{,}25$
$v_3 = 0{,}5 \times v_2 + 4 = 0{,}5 \times 6{,}25 + 4 = 3{,}125 + 4 = 7{,}125$

De même pour $w_2$ :

$w_1 = 2w_0(1 – w_0) + 2 = 2 \times \frac{3}{2} \times \left(1 – \frac{3}{2}\right) + 2 = 3 \times \left(-\frac{1}{2}\right) + 2 = -\frac{3}{2} + 2 = \frac{1}{2}$
$w_2 = 2w_1(1 – w_1) + 2 = 2 \times \frac{1}{2} \times \left(1 – \frac{1}{2}\right) + 2 = 1 \times \frac{1}{2} + 2 = \frac{5}{2} = 2{,}5$

EXERCICE

Application 2 : Algorithmes Python et modes de génération (Section 1)

On considère les fonctions Python :

terme_u(n) avec boucle for k in range(n): u = 1/u - 1 et initialisation u = 1/3.
terme_v(n) avec instruction directe return n**2 - 2*n + 1/n.
terme_w(n) avec initialisation w = 5 et boucle for k in range(1, n+1): w = w + 3*(k - 1).

Qu’obtient-on lorsqu’on appelle terme_u(3), terme_v(5) et terme_w(4) dans la console ?
Préciser les modes de génération des suites associées à chacune de ces trois fonctions.

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Valeurs renvoyées par les appels dans la console :

Pour terme_u(3) :
Initialisation : $u = \frac{1}{3} \approx 0{,}333$ .
$k = 0$ : $u = \frac{1}{1/3} – 1 = 3 – 1 = 2$ .
$k = 1$ : $u = \frac{1}{2} – 1 = -0{,}5$ .
$k = 2$ : $u = \frac{1}{-0{,}5} – 1 = -2 – 1 = -3{,}0$ .

L’appel renvoie $-3{,}0$ .

Pour terme_v(5) :

v_5 = 5^2 – 2 \times 5 + \frac{1}{5} = 25 – 10 + 0{,}2 = 15{,}2

L’appel renvoie $15{,}2$ .

Pour terme_w(4) :
Initialisation : $w = 5$ .
$k = 1$ : $w = 5 + 3 \times 0 = 5$ .
$k = 2$ : $w = 5 + 3 \times 1 = 8$ .
$k = 3$ : $w = 8 + 3 \times 2 = 14$ .
$k = 4$ : $w = 14 + 3 \times 3 = 23$ .

L’appel renvoie $23$ .

Modes de génération des trois suites :

La suite $(u_n)$ est définie par récurrence : $u_0 = \frac{1}{3}$ et $u_{n+1} = \frac{1}{u_n} – 1$ .
La suite $(v_n)$ est définie par formule explicite : pour tout entier $n \ge 1$ , $v_n = n^2 – 2n + \frac{1}{n}$ .
La suite $(w_n)$ est définie par récurrence : $w_0 = 5$ et $w_{n+1} = w_n + 3n$ .

EXERCICE

Application 3 : Reconnaître une suite arithmétique (Section 2)

La suite $(u_n)$ définie par $u_n = n^2$ pour tout $n \in \mathbb{N}$ , est-elle arithmétique ?
La suite $(v_n)$ définie par $v_n = n^2 – (n+1)^2$ pour tout $n \in \mathbb{N}$ , est-elle arithmétique ?

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Calculons les premiers termes de la suite $(u_n)$ :

$u_0 = 0^2 = 0$ , $u_1 = 1^2 = 1$ , $u_2 = 2^2 = 4$ .
On observe que :

u_1 – u_0 = 1 – 0 = 1 \qquad \text{et} \qquad u_2 – u_1 = 4 – 1 = 3

Comme $u_1 – u_0 \neq u_2 – u_1$ , la différence entre deux termes consécutifs n’est pas constante.
La suite $(u_n)$ n’est donc pas arithmétique.

Simplifions d’abord l’expression de $v_n$ :

v_n = n^2 – (n^2 + 2n + 1) = -2n – 1

Calculons la différence $v_{n+1} – v_n$ pour tout $n \in \mathbb{N}$ :

v_{n+1} – v_n = (-2(n+1) – 1) – (-2n – 1) = (-2n – 3) – (-2n – 1) = -2n – 3 + 2n + 1 = -2

La différence $v_{n+1} – v_n$ est constante et égale à $-2$ pour tout entier $n$ .
La suite $(v_n)$ est donc une suite arithmétique de raison $r = -2$ et de premier terme $v_0 = -1$ .

EXERCICE

Application 4 : Étudier une suite arithmétique et problème de la spirale (Section 2)

Soit la suite $(u_n)$ définie par $u_0 = -7$ et, pour tout $n \in \mathbb{N}$ , $u_{n+1} = u_n + 4$ .

a. Donner la formule explicite de $u_n$ . En déduire la valeur de $u_{21}$ .
b. Un terme de la suite vaut-il $2\,019$ ?

On construit une ligne brisée formée de segments perpendiculaires en « spirale ». Le 1^er segment a pour longueur $1\text{ cm}$ et chaque segment est plus long de $1\text{ cm}$ que le segment précédent.

Quelle est la longueur de cette ligne brisée lorsqu’on a tracé 25 segments ?

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a. La suite $(u_n)$ est arithmétique de premier terme $u_0 = -7$ et de raison $r = 4$ .

Sa formule explicite est donc :

u_n = u_0 + nr = -7 + 4n

Pour $n = 21$ :

u_{21} = -7 + 4 \times 21 = -7 + 84 = 77

b. On cherche s’il existe un entier naturel $n$ tel que $u_n = 2\,019$ :

-7 + 4n = 2\,019 \iff 4n = 2\,026 \iff n = \frac{2\,026}{4} = 506{,}5

Comme $506{,}5$ n’est pas un entier naturel, aucun terme de la suite $(u_n)$ n’est égal à $2\,019$ .

La longueur du $k$ -ième segment tracé est égale à $k\text{ cm}$ . La longueur totale $L$ après avoir tracé 25 segments est la somme des 25 premiers entiers naturels :

L = 1 + 2 + 3 + \dots + 25 = \frac{25(25 + 1)}{2} = \frac{25 \times 26}{2} = 25 \times 13 = 325\text{ cm}

La ligne brisée mesure exactement $325\text{ cm}$ (soit $3{,}25\text{ m}$ ).

EXERCICE

Application 5 : Suites géométriques et problème de l'échiquier (Section 3)

Indiquer si les suites suivantes sont géométriques :

a. $u_n = (n + 1)^2$ pour tout $n \in \mathbb{N}$ .
b. $v_n = 5 \times 3^{n+2}$ pour tout $n \in \mathbb{N}$ .

Soit $(w_n)$ définie par $w_0 = 6$ et $w_{n+1} = \frac{3}{2}w_n$ .

a. Donner la formule explicite de $w_n$ . En déduire la valeur exacte puis arrondie à l’unité de $w_{11}$ .
b. Déterminer le rang du premier terme qui dépasse 100.

Sur un échiquier de 64 cases, on place 1 grain de riz sur la première case, 2 sur la deuxième, 4 sur la troisième, et on continue en doublant à chaque case.

a. Combien y a-t-il de grains sur la dernière case ?
b. Combien y a-t-il de grains sur l’échiquier au total ?

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a. Calculons les premiers termes : $u_0 = 1^2 = 1$ , $u_1 = 2^2 = 4$ , $u_2 = 3^2 = 9$ .

\frac{u_1}{u_0} = \frac{4}{1} = 4 \qquad \text{et} \qquad \frac{u_2}{u_1} = \frac{9}{4} = 2{,}25

Les rapports ne sont pas égaux, donc $(u_n)$ n’est pas géométrique.
b. $v_n = 5 \times 3^{n+2} = 5 \times 3^2 \times 3^n = 45 \times 3^n$ .
Pour tout $n \in \mathbb{N}$ :

\frac{v_{n+1}}{v_n} = \frac{45 \times 3^{n+1}}{45 \times 3^n} = 3

Le quotient est constant : $(v_n)$ est une suite géométrique de raison $q = 3$ et de premier terme $v_0 = 45$ .

a. $(w_n)$ est géométrique de premier terme $w_0 = 6$ et de raison $q = \frac{3}{2}$ .

Formule explicite :

w_n = w_0 \times q^n = 6 \times \left(\frac{3}{2}\right)^n

Pour $n = 11$ :

w_{11} = 6 \times \left(\frac{3}{2}\right)^{11} = 6 \times \frac{177\,147}{2\,048} = \frac{531\,441}{1\,024} \approx 518{,}985 \approx 519

b. On cherche le plus petit entier $n$ tel que $6 \times \left(\frac{3}{2}\right)^n \ge 100$ .
Calculons les termes successifs :
$w_0 = 6 \quad ; \quad w_1 = 9 \quad ; \quad w_2 = 13{,}5 \quad ; \quad w_3 = 20{,}25 \quad ; \quad w_4 \approx 30{,}38 \quad ; \quad w_5 \approx 45{,}56 \quad ; \quad w_6 \approx 68{,}34 \quad ; \quad w_7 \approx 102{,}51$ .
Le rang du premier terme dépassant 100 est donc $n = 7$ .

a. Le nombre de grains sur la case $n+1$ est donné par la suite géométrique $u_n = u_0 \times 2^n = 2^n$ avec $u_0 = 1$ .

Sur la 64^e case ( $n = 63$ ), il y a :

u_{63} = 2^{63} \approx 9{,}223 \times 10^{18} \text{ grains}

b. Le nombre total de grains sur l’échiquier est la somme des 64 premiers termes :

S = 1 + 2 + 2^2 + \dots + 2^{63} = \frac{1 – 2^{64}}{1 – 2} = 2^{64} – 1 \approx 1{,}845 \times 10^{19} \text{ grains}

EXERCICE

Application 6 : Étudier le sens de variation d'une suite (Section 4)

La suite $(u_n)$ est définie pour tout entier naturel $n$ par $u_n = n^2 + 3n$ . Montrer que $(u_n)$ est croissante.
La suite $(v_n)$ est définie par $v_0 = 3$ et $v_{n+1} = v_n – n^2$ . Montrer que $(v_n)$ est décroissante.
Déterminer la nature et le sens de variation des suites suivantes :

a. $a_0 = -1$ et $a_{n+1} = a_n – 5$ pour tout $n \in \mathbb{N}$ .
b. $b_0 = -2$ et $b_{n+1} = \frac{1}{3}b_n$ pour tout $n \in \mathbb{N}$ .

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Calculons la différence $u_{n+1} – u_n$ pour tout $n \in \mathbb{N}$ :

u_{n+1} – u_n = (n + 1)^2 + 3(n + 1) – (n^2 + 3n) = n^2 + 2n + 1 + 3n + 3 – n^2 – 3n = 2n + 4

Comme $n$ est un entier naturel ( $n \ge 0$ ), on a $2n + 4 \ge 4 > 0$ .
Puisque $u_{n+1} – u_n > 0$ pour tout $n$ , la suite $(u_n)$ est strictement croissante.

On exprime la différence $v_{n+1} – v_n$ à partir de la relation de récurrence :

v_{n+1} – v_n = -n^2

Pour tout entier naturel $n \in \mathbb{N}$ , $n^2 \ge 0$ , donc $-n^2 \le 0$ .
La différence étant toujours négative ou nulle, la suite $(v_n)$ est décroissante.

a. La suite $(a_n)$ est arithmétique de raison $r = -5$ .

Puisque $r = -5 < 0$ , la suite $(a_n)$ est strictement décroissante.
b. La suite $(b_n)$ est géométrique de raison $q = \frac{1}{3}$ et de premier terme $b_0 = -2$ .
Formule explicite : $b_n = -2 \times \left(\frac{1}{3}\right)^n$ .
Comme $0 < q = \frac{1}{3} < 1$ , la suite $\left(\frac{1}{3}\right)^n$ est strictement décroissante et strictement positive.
En multipliant par $b_0 = -2 < 0$ , l’ordre est inversé : la suite $(b_n)$ est strictement croissante.

EXERCICE

Application 7 : Conjecturer une limite à l'aide d'un outil (Section 5)

Soit $(u_n)$ définie par $u_0 = -1$ et $u_{n+1} = u_n^2 – 1$ .

Calculer $u_1, u_2, u_3, u_4, u_5$ et conjecturer l’existence ou non d’une limite pour la suite $(u_n)$ .

Soit $(v_n)$ définie par $v_0 = 3$ et $v_{n+1} = v_n – n^2$ .

À l’aide d’un algorithme ou de la calculatrice, calculer $v_{100}$ et $v_{10\,000}$ , puis conjecturer $\lim_{n \to +\infty} v_n$ .

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Calculons les premiers termes :

$u_0 = -1$
$u_1 = (-1)^2 – 1 = 1 – 1 = 0$
$u_2 = 0^2 – 1 = -1$
$u_3 = (-1)^2 – 1 = 0$
$u_4 = -1 \quad ; \quad u_5 = 0$

La suite oscille indéfiniment entre les valeurs $-1$ et $0$ . Elle ne se rapproche d’aucun nombre réel fixe : on conjecture que la suite $(u_n)$ n’admet aucune limite quand $n \to +\infty$ .

Programmation et calculs successifs :

Pour $n = 100$ : $v_{100} = -328\,347$
Pour $n = 10\,000$ : $v_{10\,000} \approx -3{,}33 \times 10^{11}$

Les termes prennent des valeurs négatives aussi grandes en valeur absolue que l’on veut lorsque $n$ grandit : on conjecture que :

\lim_{n \to +\infty} v_n = -\infty