Fonctions trigonométriques

OBJECTIFS DU CHAPITRE

Ce que l’élève doit maîtriser

01

Compétence 1

Connaître la définition du cercle trigonométrique et du sens direct (sens anti-horaire).

02

Compétence 2

Maîtriser la notion de radian et la relation de proportionnalité entre degrés et radians.

03

Compétence 3

Convertir avec agilité les mesures d’angles remarquables entre degrés et radians.

04

Compétence 4

Calculer la longueur d’un arc de cercle intercepté par un angle au centre.

05

Compétence 5

Comprendre l’enroulement de la droite des réels sur le cercle trigonométrique.

06

Compétence 6

Repérer le point-image d’un nombre réel et connaître les points-images remarquables ( $0, dfrac{pi}{6}, dfrac{pi}{4}, dfrac{pi}{3}, dfrac{pi}{2}$ ).

07

Compétence 7

Définir le cosinus et le sinus d’un nombre réel et appliquer la relation fondamentale $cos^2(alpha) + sin^2(alpha) = 1$ .

08

Compétence 8

Mémoriser et retrouver les valeurs remarquables du cosinus et du sinus.

# Lecture sur le cercle trigonométrique

# Le cercle trigonométrique

DÉFINITION

Cercle trigonométrique et sens direct

Dans un repère orthonormé $(O; I, J)$ , le cercle de centre $O$ et de rayon $1$ parcouru de $I$ vers $J$ dans le sens inverse des aiguilles d’une montre est appelé le cercle trigonométrique.

On note :

$I$ le point de coordonnées $(1 ; 0)$ et $J$ le point de coordonnées $(0 ; 1)$ ;
$I'$ et $J'$ les symétriques respectifs de $I$ et $J$ par rapport à l’origine $O$ , soit $I'(-1 ; 0)$ et $J'(0 ; -1)$ .

# Longueur d'un arc de cercle

PROPRIÉTÉ

Proportionnalité de la longueur d'arc

Sur le cercle trigonométrique, la longueur d’un arc de cercle $overset{frown}{IM}$ (exprimée dans l’unité de longueur du repère) est proportionnelle à la mesure de l’angle au centre $widehat{IOM}$ exprimée en degrés.

begin{array}{|l|c|c|c|c|} hline textbf{Mesure de } widehat{IOM} textbf{ en degrés } (^circ) & 360^circ & 180^circ & 90^circ & 270^circ \ hline textbf{Longueur de l'arc } overset{frown}{IM} & 2pi & pi & dfrac{pi}{2} & dfrac{3pi}{2} \ hline end{array}

# Le Radian et tableau de conversion

DÉFINITION

Définition du radian

Soit $U$ le point du cercle trigonométrique tel que l’arc de cercle $overset{frown}{IU}$ ait pour longueur $1$ unité (exprimée dans l’unité de longueur du repère).

On définit un radian (noté $1text{ rad}$ ) comme étant la mesure de l’angle au centre $widehat{IOU}$ .

PROPRIÉTÉ

Formules et tableau de conversion degrés / radians

Les mesures d’un angle en degrés d’une part, et en radians d’autre part, sont proportionnelles.

On en déduit les formules de passage :

text{Mesure en radians} = text{Mesure en degrés} times dfrac{pi}{180}

text{Mesure en degrés} = text{Mesure en radians} times dfrac{180}{pi}

begin{array}{|l|c|c|c|c|c|c|c|} hline textbf{Mesure en degrés } (^circ) & 30^circ & 45^circ & 60^circ & 90^circ & 180^circ & 1^circ & left(dfrac{180}{pi}right)^circ approx 57{,}3^circ \ hline textbf{Mesure en radians } (text{rad}) & dfrac{pi}{6} & dfrac{pi}{4} & dfrac{pi}{3} & dfrac{pi}{2} & pi & dfrac{pi}{180} & 1 \ hline end{array}

# Applications résolues : Longueurs d'arcs et conversions

EXERCICE

Exercice résolu 1 : Déterminer la longueur d'un arc

Déterminer la longueur des arcs $overset{frown}{IA}$ , $overset{frown}{IB}$ et $overset{frown}{IC}$ sur le cercle trigonométrique ci-dessous, de centre $O$ et de rayon $1$ .

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La longueur totale du cercle (périmètre) est égale à $2pi$ , ce qui correspond à un angle plein de $360^circ$ .

La longueur d’un arc et la mesure de l’angle au centre associé sont deux grandeurs proportionnelles. On utilise donc la règle de proportionnalité suivante :

text{Longueur de l'arc} = dfrac{text{Angle en degrés} times 2pi}{360^circ} = dfrac{text{Angle en degrés} times pi}{180^circ}

begin{array}{|l|c|c|c|} hline textbf{Mesure de l'angle au centre en degrés} & 45^circ & 120^circ & 135^circ \ hline textbf{Longueur de l'arc de cercle} & dfrac{45pi}{180} = dfrac{pi}{4} & dfrac{120pi}{180} = dfrac{2pi}{3} & dfrac{135pi}{180} = dfrac{3pi}{4} \ hline end{array}

Conclusion :

Longueur de l’arc $overset{frown}{IA} = dfrac{pi}{4}$ unité.
Longueur de l’arc $overset{frown}{IB} = dfrac{2pi}{3}$ unités.
Longueur de l’arc $overset{frown}{IC} = dfrac{3pi}{4}$ unités.

EXERCICE

Exercice résolu 2 : Convertir des angles en radians

Convertir en radians les mesures d’angles suivantes données en degrés :

$30^circ$
$0^circ$
$150^circ$
$210^circ$
$225^circ$

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On applique la formule de conversion proportionnelle :

text{Mesure en radians} = text{Mesure en degrés} times dfrac{pi}{180}

Détail des calculs pas à pas :

Pour $30^circ$ : $30 times dfrac{pi}{180} = dfrac{30pi}{180} = dfrac{pi}{6}text{ rad}$ .
Pour $0^circ$ : $0 times dfrac{pi}{180} = 0text{ rad}$ .
Pour $150^circ$ : $150 times dfrac{pi}{180} = dfrac{5 times 30pi}{6 times 30} = dfrac{5pi}{6}text{ rad}$ .
Pour $210^circ$ : $210 times dfrac{pi}{180} = dfrac{7 times 30pi}{6 times 30} = dfrac{7pi}{6}text{ rad}$ .
Pour $225^circ$ : $225 times dfrac{pi}{180} = dfrac{5 times 45pi}{4 times 45} = dfrac{5pi}{4}text{ rad}$ .

begin{array}{|l|c|c|c|c|c|} hline textbf{Mesure de l'angle en degrés } (^circ) & 30^circ & 0^circ & 150^circ & 210^circ & 225^circ \ hline textbf{Mesure de l'angle en radians } (text{rad}) & dfrac{pi}{6} & 0 & dfrac{5pi}{6} & dfrac{7pi}{6} & dfrac{5pi}{4} \ hline end{array}

EXERCICE

Exercice résolu 3 : Convertir des angles en degrés

Convertir en degrés les mesures d’angles suivantes données en radians :

$dfrac{3pi}{2}text{ rad}$
$dfrac{2pi}{5}text{ rad}$
$dfrac{3pi}{4}text{ rad}$
$dfrac{5pi}{12}text{ rad}$
$dfrac{pi}{8}text{ rad}$

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On applique la formule de conversion inverse (en remplaçant $pi$ par $180^circ$ ) :

text{Mesure en degrés} = text{Mesure en radians} times dfrac{180}{pi}

Détail des calculs pas à pas :

Pour $dfrac{3pi}{2}$ : $dfrac{3 times 180^circ}{2} = 3 times 90^circ = 270^circ$ .
Pour $dfrac{2pi}{5}$ : $dfrac{2 times 180^circ}{5} = 2 times 36^circ = 72^circ$ .
Pour $dfrac{3pi}{4}$ : $dfrac{3 times 180^circ}{4} = 3 times 45^circ = 135^circ$ .
Pour $dfrac{5pi}{12}$ : $dfrac{5 times 180^circ}{12} = 5 times 15^circ = 75^circ$ .
Pour $dfrac{pi}{8}$ : $dfrac{180^circ}{8} = 22{,}5^circ = 22^circ 30'$ .

begin{array}{|l|c|c|c|c|c|} hline textbf{Mesure de l'angle en radians } (text{rad}) & dfrac{3pi}{2} & dfrac{2pi}{5} & dfrac{3pi}{4} & dfrac{5pi}{12} & dfrac{pi}{8} \ hline textbf{Mesure de l'angle en degrés } (^circ) & 270^circ & 72^circ & 135^circ & 75^circ & 22{,}5^circ \ hline end{array}

# Enroulement de la droite des réels

# Point-image d'un réel

Dans un repère orthonormé $(O,;,I, J)$ , on considère le cercle trigonométrique et la tangente $mathscr{D}$ au cercle au point $I$ . On définit sur cette droite un repère d’origine $I$ comme indiqué sur la figure ci-contre.

On imagine que la droite $mathscr{D}$ s’enroule autour du cercle.

PROPRIÉTÉ

Point-image d'un réel et périodicité

Pour tout nombre réel $alpha$ , le point d’abscisse $alpha$ sur $mathscr{D}$ coïncide avec un unique point $M$ du cercle trigonométrique. $M$ s’appelle le point-image de $alpha$ sur le cercle trigonométrique.
Réciproquement, à tout point $M$ du cercle trigonométrique correspondent une infinité de valeurs qui peuvent être considérées comme les abscisses de points de la droite $mathscr{D}$ . Si $alpha$ est l’abscisse d’un de ces points sur $mathscr{D}$ , tous les autres points de $mathscr{D}$ ont pour abscisses : $alpha + 2pi,quad alpha + 4pi,quad dots,quad alpha – 2pi,quad alpha – 4pi,quad dots$

# Points-images remarquables du cercle trigonométrique

PROPRIÉTÉ

Points-images remarquables du premier quadrant

Sur le cercle trigonométrique, les points $I$ , $A$ , $B$ , $C$ et $J$ sont appelés points remarquables et sont définis par :

$overset{frown}{IOI} = 2kpi,quad k text{ entier relatif}$
$overset{frown}{IOA} = dfrac{pi}{6} + 2kpi,quad k text{ entier relatif}$
$overset{frown}{IOB} = dfrac{pi}{4} + 2kpi,quad k text{ entier relatif}$
$overset{frown}{IOC} = dfrac{pi}{3} + 2kpi,quad k text{ entier relatif}$
$overset{frown}{IOJ} = dfrac{pi}{2} + 2kpi,quad k text{ entier relatif}$

# Applications résolues : Repérage sur le cercle trigonométrique

EXERCICE

Exercice résolu 1 : Se repérer sur le cercle trigonométrique

Le cercle ci-contre est le cercle trigonométrique partagé en huit arcs de même longueur.

Pour chacun des points $A$ et $B$ du cercle, donner deux réels dont il est le point-image.

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1. Point-image $A$ :
Pour aller de $I$ à $A$ dans le sens trigonométrique (sens direct), on parcourt un arc de longueur un huitième de la longueur totale du cercle (soit $dfrac{2pi}{8} = dfrac{pi}{4}$ ).
$A$ est donc le point-image du nombre $dfrac{pi}{4}$ .

Pour déterminer un autre réel dont $A$ est le point-image, il suffit d’ajouter ou de retrancher $2pi$ (un tour complet) :

dfrac{pi}{4} – 2pi = dfrac{pi}{4} – dfrac{8pi}{4} = -dfrac{7pi}{4}

$A$ est ainsi le point-image du réel $-dfrac{7pi}{4}$ en parcourant le cercle dans le sens contraire du sens trigonométrique.

2. Point-image $B$ :
$B$ est le point-image du réel $-dfrac{pi}{4}$ en parcourant le cercle dans le sens contraire du sens trigonométrique (sens indirect).

Pour déterminer un autre réel dont $B$ est le point-image, il suffit d’ajouter $2pi$ :

-dfrac{pi}{4} + 2pi = -dfrac{pi}{4} + dfrac{8pi}{4} = dfrac{7pi}{4}

$B$ est donc également le point-image de $dfrac{7pi}{4}$ .

EXERCICE

Exercice résolu 2 : Placer des points sur le cercle trigonométrique

On a placé sur le cercle trigonométrique ci-dessous trois points-images de trois nombres : $Aleft(dfrac{pi}{6}right)$ , $Bleft(dfrac{pi}{4}right)$ et $Cleft(dfrac{pi}{3}right)$ .

Reproduire le cercle et placer les points $Eleft(dfrac{3pi}{4}right)$ et $Fleft(-dfrac{4pi}{3}right)$ .

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1. Placement du point $Eleft(dfrac{3pi}{4}right)$ :
$B$ est le point-image de $dfrac{pi}{4}$ .
Lorsqu’on reporte deux fois l’arc $overset{frown}{IB}$ à partir de $I$ , on arrive sur le point $J$ , point-image de $dfrac{2pi}{4} = dfrac{pi}{2}$ .
On reporte une fois encore l’arc $overset{frown}{IB}$ (soit 3 fois au total) pour obtenir le point-image de $dfrac{3pi}{4}$ , soit le point $E$ .

2. Placement du point $Fleft(-dfrac{4pi}{3}right)$ :
$C$ est le point-image de $dfrac{pi}{3}$ .
On reporte quatre fois à partir de $I$ l’arc $overset{frown}{IC}$ dans le sens contraire du sens trigonométrique (sens horaire).
Le point obtenu est le point-image de $-dfrac{4pi}{3}$ , soit le point $F$ .

Remarque : Comme $-dfrac{4pi}{3} + 2pi = dfrac{2pi}{3}$ , le point $F$ coïncide également avec le point-image de $dfrac{2pi}{3}$ .

# Sinus et cosinus d'un nombre réel

# Définitions

DÉFINITION

Cosinus et sinus d'un réel

Soit $alpha$ un nombre réel et soit $M$ le point-image de $alpha$ sur le cercle trigonométrique. Dans le repère $(O,;,I, J)$ :

L’abscisse de $M$ est appelée le cosinus de $alpha$ , noté $cos(alpha)$ ;
L’ordonnée de $M$ est appelée le sinus de $alpha$ , noté $sin(alpha)$ ;
Le point $M$ a pour coordonnées $M(cos(alpha),;,sin(alpha))$ .

PROPRIÉTÉ

Propriétés fondamentales du cosinus et du sinus

Pour tout réel $alpha$ , on a :

$-1 leqslant cos(alpha) leqslant 1$ et $-1 leqslant sin(alpha) leqslant 1$ ;
$cos^2(alpha) + sin^2(alpha) = 1$ .

Remarque : $(cos(alpha))^2$ peut se noter $cos^2(alpha)$ .

# Valeurs remarquables du sinus et du cosinus

Certaines valeurs remarquables de $cos(alpha)$ et $sin(alpha)$ sont à connaître pour des valeurs de $alpha$ données. Elles correspondent à des positions remarquables du point $M$ sur le cercle trigonométrique :

$I$ est le point-image de $0$ ;
$M_1$ est le point-image de $dfrac{pi}{6}$ ;
$M_2$ est le point-image de $dfrac{pi}{4}$ ;
$M_3$ est le point-image de $dfrac{pi}{3}$ ;
$J$ est le point-image de $dfrac{pi}{2}$ .

begin{array}{|l|c|c|c|c|c|} hline alpha & 0 & dfrac{pi}{6} & dfrac{pi}{4} & dfrac{pi}{3} & dfrac{pi}{2} \ hline textbf{Angle en degrés } (^circ) & 0^circ & 30^circ & 45^circ & 60^circ & 90^circ \ hline cos(alpha) & 1 & dfrac{sqrt{3}}{2} & dfrac{sqrt{2}}{2} & dfrac{1}{2} & 0 \ hline sin(alpha) & 0 & dfrac{1}{2} & dfrac{sqrt{2}}{2} & dfrac{sqrt{3}}{2} & 1 \ hline end{array}

# Lien avec le sinus et le cosinus dans un triangle rectangle

On considère le cercle trigonométrique et la tangente $mathscr{D}$ au cercle.

Pour tout nombre $alpha in left]0,;,dfrac{pi}{2}right[$ , d’image $M$ , on considère le point $H$ de l’axe des abscisses tel que $(MH)$ est perpendiculaire à $(OI)$ .

On a :

$cos(alpha) = text{abscisse de } M = dfrac{OH}{OM} = dfrac{text{côté adjacent}}{text{hypoténuse}} = cos(widehat{HOM})$
$sin(alpha) = text{ordonnée de } M = dfrac{HM}{OM} = dfrac{text{côté opposé}}{text{hypoténuse}} = sin(widehat{HOM})$

# Applications résolues : Utiliser le cosinus et le sinus

EXERCICE

Exercice résolu 1 : Signe d'expressions trigonométriques

Donner, sans calculatrice, le signe des nombres réels suivants :

$a = 1 – cosleft(dfrac{pi}{5}right)$
$b = -sinleft(dfrac{pi}{7}right) – 1$

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1. Signe de $a = 1 – cosleft(dfrac{pi}{5}right)$ :
On sait que pour tout réel $x$ , $-1 leqslant cos(x) leqslant 1$ . En particulier :

-1 leqslant cosleft(dfrac{pi}{5}right) leqslant 1

On utilise la deuxième inégalité :

cosleft(dfrac{pi}{5}right) leqslant 1 iff 1 – cosleft(dfrac{pi}{5}right) geqslant 0

$1 – cosleft(dfrac{pi}{5}right)$ est donc un nombre réel positif.

2. Signe de $b = -sinleft(dfrac{pi}{7}right) – 1$ :
On sait que pour tout réel $x$ , $-1 leqslant sin(x) leqslant 1$ . En particulier :

-1 leqslant sinleft(dfrac{pi}{7}right) leqslant 1

On utilise la première inégalité :

-1 leqslant sinleft(dfrac{pi}{7}right) iff -1 – sinleft(dfrac{pi}{7}right) leqslant 0

$-1 – sinleft(dfrac{pi}{7}right)$ est donc un nombre réel négatif.

EXERCICE

Exercice résolu 2 : Déterminer des valeurs du sinus et du cosinus

En utilisant le cercle trigonométrique, déterminer les valeurs exactes des cosinus et sinus de $-dfrac{pi}{4}$ .

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On place les images de ces réels sur le cercle trigonométrique :

Le point-image de $-dfrac{pi}{4}$ est le point $N$ .
$N$ est le symétrique par rapport à l’axe des abscisses du point $M$ , image de $dfrac{pi}{4}$ .
On sait que $M$ a pour coordonnées $Mleft(dfrac{sqrt{2}}{2},;,dfrac{sqrt{2}}{2}right)$ .
Par symétrie axiale d’axe $(OI)$ , le point $N$ a la même abscisse et une ordonnée opposée : $Nleft(dfrac{sqrt{2}}{2},;,-dfrac{sqrt{2}}{2}right)$

On en déduit :

cosleft(-dfrac{pi}{4}right) = dfrac{sqrt{2}}{2} quad text{et} quad sinleft(-dfrac{pi}{4}right) = -dfrac{sqrt{2}}{2}

EXERCICE

Exercice résolu 3 : Utiliser les valeurs remarquables du sinus et du cosinus

Calculer les expressions suivantes et donner le résultat sous la forme d’une fraction :

$A = cosleft(dfrac{pi}{3}right) – sinleft(dfrac{pi}{3}right)$
$B = cosleft(dfrac{pi}{4}right) + sinleft(dfrac{3pi}{4}right)$

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En utilisant le cercle trigonométrique et les valeurs remarquables :

1. Calcul de $A$ :
On a $cosleft(dfrac{pi}{3}right) = dfrac{1}{2}$ et $sinleft(dfrac{pi}{3}right) = dfrac{sqrt{3}}{2}$ .

A = dfrac{1}{2} – dfrac{sqrt{3}}{2} = dfrac{1 – sqrt{3}}{2}

2. Calcul de $B$ :
On a $cosleft(dfrac{pi}{4}right) = dfrac{sqrt{2}}{2}$ et $sinleft(dfrac{3pi}{4}right) = dfrac{sqrt{2}}{2}$ .

B = dfrac{sqrt{2}}{2} + dfrac{sqrt{2}}{2} = dfrac{2sqrt{2}}{2} = sqrt{2}

# Fonctions sinus et cosinus

# Définition

DÉFINITION

Fonctions sinus et cosinus

La fonction sinus, notée sin, est la fonction définie sur $mathbb{R}$ par $x mapsto sin(x)$ .
La fonction cosinus, notée cos, est la fonction définie sur $mathbb{R}$ par $x mapsto cos(x)$ .

Leurs courbes représentatives sont appelées des sinusoïdes.

Remarque : Pour tout $x$ réel, $-1 leqslant sin(x) leqslant 1$ et $-1 leqslant cos(x) leqslant 1$ .

# Périodicité et parité

DÉFINITION

Fonction périodique

Une fonction trigonométrique définie sur $mathbb{R}$ est dite périodique de période $T$ si et seulement si, pour tout réel $x$ :

f(x + T) = f(x)

PROPRIÉTÉ

Périodicité des fonctions sinus et cosinus

Pour tout $x$ réel, on a $sin(x + 2pi) = sin(x)$ et $cos(x + 2pi) = cos(x)$ .

On dit que les fonctions sinus et cosinus sont $2pi$ -périodiques.

PROPRIÉTÉ

Parité des fonctions sinus et cosinus

Pour tout $x$ réel, on a :

$sin(-x) = -sin(x)$ : on dit que la fonction sinus est impaire ;
$cos(-x) = cos(x)$ : on dit que la fonction cosinus est paire.

La courbe de la fonction sinus est donc symétrique par rapport à l’origine $O$ .

La courbe de la fonction cosinus est donc symétrique par rapport à l’axe des ordonnées.

subsection*{Applications résolues : Fonctions sinus et cosinus}

EXERCICE

Exercice résolu 1 : Utiliser la courbe représentative de la fonction cosinus

En utilisant la courbe représentative de la fonction cosinus, résoudre graphiquement l’équation $cos(x) = 0{,}8$ sur l’intervalle $[0 mathbin{;} 2pi]$ . Donner les valeurs approchées des solutions au dixième.

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On trace la droite d’équation $y = 0{,}8$ .

Les solutions sont les abscisses des points d’intersection de la droite avec la courbe représentative de la fonction cosinus.

On trouve deux valeurs approchées : $x_1 approx 0{,}6$ et $x_2 approx 5{,}6$ .

EXERCICE

Exercice résolu 2 : Étudier la périodicité d'une fonction trigonométrique

On considère la fonction trigonométrique définie sur $mathbb{R}$ par $f(x) = sin(x) + cos(x)$ .

Démontrer que la fonction $f$ est périodique de période $2pi$ .

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Pour tout réel $x$ , on calcule $f(x + 2pi)$ :

f(x + 2pi) = sin(x + 2pi) + cos(x + 2pi) = sin(x) + cos(x)

car les fonctions sinus et cosinus sont périodiques de période $2pi$ .

On a donc $f(x + 2pi) = f(x)$ pour tout $x$ réel. La fonction $f$ est périodique de période $2pi$ .

EXERCICE

Exercice résolu 3 : Montrer qu'une fonction est paire ou impaire

On considère la fonction $f$ définie pour tout réel $x$ par $f(x) = sin(x) + x$ .

Montrer que la fonction $f$ est impaire.
Qu’en déduit-on pour sa courbe représentative dans un repère orthonormé ?

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On calcule $f(-x) = sin(-x) + (-x) = -sin(x) – x$ car la fonction sinus est impaire.
On a alors $f(-x) = -(sin(x) + x) = -f(x)$ pour tout $x$ réel.

La fonction $f$ est impaire.
La courbe représentative de la fonction $f$ est symétrique par rapport à l’origine $O$ du repère.