Dérivation : Nombre dérivé, tangente et calculs de dérivées

MATHÉMATIQUES · Première Spécialité

Dérivation : Nombre dérivé, tangente et calculs de dérivées

Fiche de synthèse officielle du programme de Première Spécialité : taux de variation, nombre dérivé, équation réduite de la tangente, tableau des dérivées usuelles, non-dérivabilité de la racine carrée en 0, règles d'opération, automatismes de calcul mental et exercices d'application corrigés.

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OBJECTIFS DU CHAPITRE

Ce que l’élève doit maîtriser

Compétence 1

Exprimer un taux de variation et calculer un nombre dérivé comme limite d’un taux d’accroissement lorsque $h \to 0$ .

Compétence 2

Interpréter géométriquement le nombre dérivé comme pente de la tangente et déterminer l’équation réduite $y = f'(a)(x-a) + f(a)$ .

Compétence 3

Connaître les fonctions dérivées usuelles (constante, identité, carré, cube, inverse, puissance, racine carrée) et leurs ensembles de dérivabilité.

Compétence 4

Comprendre pourquoi la fonction racine carrée n’est pas dérivable en 0 (demi-tangente verticale).

Compétence 5

Appliquer avec rigueur les formules de dérivation des opérations : somme, produit, quotient et composée $g(ax+b)$ .

# Nombre dérivé et tangente

Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$ . Soient $a$ et $a+h$ deux nombres réels de $I$ avec $h \neq 0$ .

DÉFINITION

Taux de variation

Le **taux de variation** de la fonction $f$ entre $a$ et $a+h$ (avec $h \neq 0$ ) est le rapport :

\tau(h) = \frac{f(a+h) – f(a)}{h}

PROPRIÉTÉ

Interprétation géométrique du taux de variation

Dans un repère orthonormé, soient $A(a\,;\,f(a))$ et $M(a+h\,;\,f(a+h))$ deux points distincts de la courbe représentative $\mathcal{C}_f$ .
Le taux de variation $\dfrac{f(a+h) – f(a)}{h}$ est égal au **coefficient directeur (la pente)** de la droite sécante $(AM)$ :

\text{Pente}(AM) = \frac{y_M – y_A}{x_M – x_A} = \frac{f(a+h) – f(a)}{h}

MÉTHODE

Exemple fondamental : Taux de variation de la fonction carré

Soit $g$ la fonction carré $x \mapsto x^2$ . Le taux de variation de $g$ entre $1$ et $1+h$ (avec $h \neq 0$ ) est :

\frac{g(1+h) – g(1)}{h} = \frac{(1+h)^2 – 1^2}{h} = \frac{1 + 2h + h^2 – 1}{h} = \frac{2h + h^2}{h} = \frac{h(2+h)}{h} = 2+h

DÉFINITION

Nombre dérivé en un point

Dire que la fonction $f$ est **dérivable en** $a$ signifie que le taux de variation de $f$ entre $a$ et $a+h$ admet une limite finie réelle lorsque $h$ tend vers 0.
Ce nombre réel, lorsqu’il existe, est appelé **nombre dérivé de $f$ en $a$ ** et est noté $f'(a)$ :

f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) – f(a)}{h}

THÉORÈME

Tangente à la courbe représentative

On suppose que la fonction $f$ est dérivable en $a$ . Dans un repère orthonormé :

La **tangente** $T$ à la courbe représentative $\mathcal{C}_f$ au point $A$ d’abscisse $a$ est la droite passant par $A(a\,;\,f(a))$ et de coefficient directeur $f'(a)$ .
La tangente $T$ admet pour équation réduite :

y = f'(a)(x – a) + f(a)

PROPRIÉTÉ

Interprétation graphique : Position limite de la sécante

Soient $A(a\,;\,f(a))$ et $M(a+h\,;\,f(a+h))$ deux points de la courbe $\mathcal{C}_f$ .
La droite sécante $(AM)$ a pour pente $\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}$ .
Lorsque $h$ tend vers $0$ ( $h \to 0$ ), le point $M$ se déplace le long de la courbe $\mathcal{C}_f$ et se rapproche indéfiniment de $A$ .
La droite sécante $(AM)$ pivote alors autour de $A$ et tend vers une droite limite : c’est la **tangente** $T$ à la courbe au point $A$ .

MÉTHODE

Méthode clef : Déterminer l'équation réduite d'une tangente

Pour déterminer l’équation de la tangente à la courbe $\mathcal{C}_f$ au point d’abscisse $a$ :

Calculer l’ordonnée du point de contact : $f(a)$ .
Calculer le coefficient directeur de la droite : $f'(a)$ (nombre dérivé en $a$ ).
Remplacer dans la formule : $y = f'(a)(x – a) + f(a)$ , puis développer et réduire sous la forme $y = mx + p$ .

EXERCICE

Exercice d'application 1 : Calcul de nombre dérivé et équation de tangente

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = x^2 – 3x + 1$ .

Pour tout réel $h \neq 0$ , exprimer et simplifier le taux de variation $\dfrac{f(2+h) – f(2)}{h}$ .
En déduire que la fonction $f$ est dérivable en $2$ et déterminer la valeur de $f'(2)$ .
Déterminer l’équation réduite de la tangente $T$ à la courbe représentative $\mathcal{C}_f$ au point d’abscisse $a = 2$ .

# Dérivées des fonctions usuelles

DÉFINITION

Fonction dérivée sur un intervalle

Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$ .

On dit que $f$ est **dérivable sur $I$ ** lorsque $f$ est dérivable en tout nombre réel $x \in I$ .
La fonction qui, à tout nombre réel $x \in I$ , associe le nombre dérivé $f'(x)$ est appelée **fonction dérivée de $f$ sur $I$ ** et se note $f'$ .

PROPRIÉTÉ

Tableau des dérivées des fonctions usuelles

\begin{array}{|l|c|c|c|} \hline \textbf{Fonction } f & \textbf{Expression } f(x) & \textbf{Intervalle } I & \textbf{Dérivée } f'(x) \\ \hline \text{Constante} & f(x) = k \quad (k \in \mathbb{R}) & \mathbb{R} & f'(x) = 0 \\ \hline \text{Identité} & f(x) = x & \mathbb{R} & f'(x) = 1 \\ \hline \text{Carré} & f(x) = x^2 & \mathbb{R} & f'(x) = 2x \\ \hline \text{Cube} & f(x) = x^3 & \mathbb{R} & f'(x) = 3x^2 \\ \hline \text{Inverse} & f(x) = \dfrac{1}{x} & ]-\infty\,;\,0[ \text{ et } ]0\,;\,+\infty[ & f'(x) = -\dfrac{1}{x^2} \\ \hline \text{Puissance} & f(x) = x^n \quad (n \in \mathbb{Z}^*,\, n \neq 1) & \begin{array}{c} \mathbb{R} \quad (n \ge 2) \\ ]-\infty\,;\,0[ \text{ et } ]0\,;\,+\infty[ \quad (n \le -1) \end{array} & f'(x) = n\,x^{n-1} \\ \hline \text{Racine carrée} & f(x) = \sqrt{x} & ]0\,;\,+\infty[ & f'(x) = \dfrac{1}{2\sqrt{x}} \\ \hline \end{array}

⚠️ Attention aux erreurs fréquentes

**Point clef essentiel : Non-dérivabilité de la racine carrée en 0**
La fonction racine carrée $x \mapsto \sqrt{x}$ est bien définie et continue sur $[0\,;\,+\infty[$ , mais elle n’est **pas dérivable en 0** :

Pour tout $h > 0$ , le taux de variation en 0 s’écrit :

\frac{f(h) – f(0)}{h} = \frac{\sqrt{h}}{h} = \frac{\sqrt{h}}{\sqrt{h} \times \sqrt{h}} = \frac{1}{\sqrt{h}}

Lorsque $h \to 0$ avec $h > 0$ , $\lim_{h \to 0^+} \dfrac{1}{\sqrt{h}} = +\infty$ . Ce rapport n’admet pas de limite finie réelle.
**Interprétation géométrique :** La droite sécante a pour position limite l’axe des ordonnées : la courbe représentative $\mathcal{C}_f$ admet une **demi-tangente verticale** en l’origine $O(0\,;\,0)$ .

EXERCICE

Exercice d'application 2 : Dérivation des fonctions de référence

Pour chacune des fonctions suivantes, déterminer l’ensemble de dérivabilité et exprimer la fonction dérivée $f'$ :

$f(x) = x^6$
$g(x) = \dfrac{1}{x^4}$ (en écrivant $g(x) = x^{-4}$ )
$h(x) = \dfrac{1}{x}$ en calculant spécifiquement le nombre dérivé $h'(-2)$ .

# Opérations sur les fonctions dérivables

Soient $u$ et $v$ deux fonctions dérivables sur un intervalle $I$ .

PROPRIÉTÉ

Formules d'opération de dérivation

\begin{array}{|l|c|l|c|} \hline \textbf{Opération} & \textbf{Fonction} & \textbf{Condition} & \textbf{Formule de la dérivée} \\ \hline \text{Somme} & u + v & u, v \text{ dérivables sur } I & (u+v)' = u' + v' \\ \hline \text{Produit par un réel} & k \cdot u \quad (k \in \mathbb{R}) & u \text{ dérivable sur } I & (k \cdot u)' = k \cdot u' \\ \hline \text{Produit de fonctions} & u \cdot v & u, v \text{ dérivables sur } I & (u \cdot v)' = u'v + u v' \\ \hline \text{Carré d'une fonction} & u^2 & u \text{ dérivable sur } I & (u^2)' = 2\,u'\,u \\ \hline \text{Inverse} & \dfrac{1}{v} & v \text{ dérivable sur } I \text{ et } v(x) \neq 0 & \left(\dfrac{1}{v}\right)' = -\dfrac{v'}{v^2} \\ \hline \text{Quotient} & \dfrac{u}{v} & u, v \text{ dérivables sur } I \text{ et } v(x) \neq 0 & \left(\dfrac{u}{v}\right)' = \dfrac{u'v – u v'}{v^2} \\ \hline \end{array}

THÉORÈME

Dérivée de la fonction composée $x \mapsto g(ax+b)$ (Propriété admise)

Soient $a$ et $b$ deux nombres réels avec $a \neq 0$ .
Si $g$ est une fonction dérivable sur un intervalle $J$ , alors la fonction $f : x \mapsto g(ax+b)$ est dérivable sur l’intervalle $I$ formé de tous les nombres réels $x$ tels que $ax+b \in J$ , et pour tout $x \in I$ :

f'(x) = a \cdot g'(ax+b)

MÉTHODE

Exemple d'application type : Dérivée de $f(x) = \sqrt{ax+b}$

Soit $f$ la fonction définie sur $\left[\frac{1}{2}\,;\,+\infty\right[$ par $f(x) = \sqrt{2x-1}$ .

On reconnaît la forme $f(x) = g(ax+b)$ avec $g(X) = \sqrt{X}$ , $a = 2$ et $b = -1$ .
La fonction $g : X \mapsto \sqrt{X}$ est dérivable sur $J = ]0\,;\,+\infty[$ et $g'(X) = \dfrac{1}{2\sqrt{X}}$ .
La condition $2x-1 \in J$ équivaut à $2x-1 > 0$ , soit $x > \frac{1}{2}$ . Donc $f$ est dérivable sur $I = \left]\frac{1}{2}\,;\,+\infty\right[$ .
Pour tout $x > \frac{1}{2}$ , la formule donne :

f'(x) = 2 \times g'(2x-1) = 2 \times \frac{1}{2\sqrt{2x-1}} = \frac{1}{\sqrt{2x-1}}

EXERCICE

Exercice d'application 3 : Calculs de fonctions dérivées

Déterminer l’ensemble de dérivabilité et calculer la fonction dérivée de chacune des fonctions suivantes :

$f(x) = 4x^3 – 5x^2 + 7x – 9 \quad \text{sur } \mathbb{R}$ .
$g(x) = (3x-2)(x^2+1) \quad \text{sur } \mathbb{R}$ .
$h(x) = \dfrac{2x+3}{x-4} \quad \text{sur } ]-\infty\,;\,4[ \text{ et sur } ]4\,;\,+\infty[$ .
$k(x) = \sqrt{3x+6} \quad \text{sur } ]-2\,;\,+\infty[$ .

# Automatismes et calcul mental

# Calcul mental et prise en main algébrique

CALCUL MENTAL

Exercice 1 : Calculs fractionnaires fondamentaux

Calculer les expressions suivantes et donner le résultat sous forme de fraction irréductible :

$4 – \dfrac{1}{4}$ $5 – \dfrac{1}{3}$
$-\dfrac{2}{5} + \dfrac{3}{10}$ $-\dfrac{4}{7} – \dfrac{2}{14}$
$\dfrac{3}{4} – \dfrac{5}{6}$ $\dfrac{1}{2} – \dfrac{1}{3}$
$\dfrac{5}{14} – \dfrac{10}{21}$ $-\dfrac{4}{7} – \dfrac{1}{3}$

CALCUL MENTAL

Exercice 2 : Appartenance d'un point à une droite affine

On considère la droite $d$ d’équation : $d : y = -3x + 4$ .
Déterminer si les points suivants appartiennent à la droite $d$ :

$A(1\,;\,1)$ $B(0\,;\,4)$
$C(4\,;\,-9)$ $D(-2\,;\,11)$
$E(-1\,;\,7)$ $F\left(\dfrac{2}{3}\,;\,2\right)$

CALCUL MENTAL

Exercice 3 : Calculs de taux de variation algébriques

On considère la fonction $f$ définie par : $f(x) = x^2 + 3x – 1$ .
Calculer les rapports de variation suivants :

$\dfrac{f(2)-f(1)}{2-1}$ $\dfrac{f(5)-f(0)}{5}$
$\dfrac{f(-1)-f(2)}{-1-2}$

CALCUL MENTAL

Exercice 4 : Images par une fonction rationnelle

On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par : $f(x) = \dfrac{x+1}{x^2+2}$ .

Calculer $f(0)$ , $f(1)$ et $f(4)$ .

CALCUL MENTAL

Exercice 5 : Simplification d'expressions avec le paramètre $h$

Pour tout réel $h \neq 0$ (et $h \neq 1$ pour le cas **c.**), simplifier les expressions suivantes :

$\dfrac{h^2 – 4h}{h}$ $\dfrac{3h}{h}$
$\dfrac{(1+h)(1-h)}{1-h}$ $\dfrac{(2+h)^2 – 4}{h}$

CALCUL MENTAL

Exercice 6 : Développement et réduction d'expressions

Développer et simplifier les expressions algébriques suivantes :

$(1+h)^2 – 2h$ $(2+h)^2 – 4 – h^2$
$(3-h)^2 – (3+h)^2$ $h(1+h) – h(1-h)$

CALCUL MENTAL

Exercice 7 : Limites intuitives et comportement local

Lorsque $h$ est un nombre très proche de $2$ , de quel nombre le nombre $3+h$ est-il proche ?
Lorsque $h$ est un nombre très proche de $1$ , de quel nombre le nombre $-1+h$ est-il proche ?
Lorsque $h$ est un nombre très proche de $0$ , de quel nombre le nombre $\sqrt{h}$ est-il proche ?

# Automatismes graphiques et théoriques

AUTOMATISME

Exercice 8 : Lecture graphique de l'équation de deux droites affines

Déterminer par lecture graphique l’équation réduite des deux droites $d_1$ (en rouge) et $d_2$ (en vert) tracées ci-dessous dans le repère orthonormé $(O\,;\,\vec{i},\,\vec{j})$ :

Lire l’ordonnée à l’origine $p$ de chacune des droites.
Déterminer le coefficient directeur $m = \dfrac{\Delta y}{\Delta x}$ .
Donner l’équation réduite sous la forme $y = mx + p$ .

AUTOMATISME

Exercice 9 : Équation de tangente par formule directe

On considère une fonction $f$ telle que $f(3) = 1$ et $f'(3) = -2$ .

Quelle est l’équation de la tangente $\mathcal{T}$ à la courbe représentative de la fonction $f$ au point $A$ d’abscisse $3$ ?

AUTOMATISME

Exercice 10 : Vrai ou Faux sur les tangentes et la dérivabilité

Dire si les propositions suivantes sont vraies ou fausses en justifiant votre réponse :

Si $f'(2) = 0$ , alors la tangente à la courbe au point d’abscisse $2$ est verticale.
La fonction $x \mapsto \sqrt{x}$ est dérivable en $0$ .

AUTOMATISME

Exercice 11 : Lecture graphique de valeurs et de nombres dérivés

La courbe représentative d’une fonction $f$ ainsi que trois de ses tangentes sont tracées ci-dessous dans un repère orthonormé $(O\,;\,\vec{i},\,\vec{j})$ .
Déterminer graphiquement la valeur exacte des nombres suivants :

$f(-4)$ et $f'(-4)$
$f(2)$ et $f'(2)$
$f(6)$ et $f'(6)$

AUTOMATISME

Exercice 12 : Vitesse moyenne et vitesse instantanée

Un automobiliste a parcouru $60\text{ km}$ en trois quarts d’heure.

Quelle a été sa vitesse moyenne sur ce trajet (en $\text{km}\cdot\text{h}^{-1}$ ) ?
Est-ce qu’à un moment donné du trajet, cet automobiliste a pu rouler à $88\text{ km}\cdot\text{h}^{-1}$ ? Justifier.

# Exercices d'application du cours

# Taux de variation et interprétation géométrique

EXERCICE

Exercice d'application 4 : Calcul d'un taux de variation

On considère la fonction carré définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = x^2$ .

Déterminer le taux de variation de $f$ entre $0$ et $1$ .
Déterminer le taux de variation de $f$ entre $1$ et $3$ .
Interpréter graphiquement ces résultats en termes de coefficients directeurs des droites sécantes $(OA)$ et $(AB)$ où $O(0\,;\,0)$ , $A(1\,;\,1)$ et $B(3\,;\,9)$ .

EXERCICE

Exercice d'application 5 : Estimer graphiquement un taux de variation (Modélisation)

Un médicament est administré à un patient. Le graphique ci-dessous indique la concentration du médicament dans le sang (en milligramme par litre) au cours du temps $t$ (en heure).

Déterminer graphiquement la concentration du médicament au bout de $1$ heure puis au bout de $9$ heures.

a. Estimer graphiquement le taux de variation de la concentration entre $1$ heure et $2$ heures.
b. Estimer graphiquement le taux de variation de la concentration entre $9$ heures et $10$ heures.

Décrire l’évolution de la concentration au cours du temps.

# Nombre dérivé par le taux d'accroissement

EXERCICE

Exercice d'application 6 : Calculer un nombre dérivé avec la définition

On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}^*$ par $f(x) = 1 + \dfrac{3}{x}$ .

Montrer que $f$ est dérivable en $5$ et donner la valeur exacte de $f'(5)$ .

EXERCICE

Exercice d'application 7 : Étudier la dérivabilité d'une fonction polynomiale

On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = x^2 + 4x – 3$ .

Montrer que la fonction $f$ est dérivable en tout réel $a$ et exprimer $f'(a)$ en fonction de $a$ .
En déduire la valeur du nombre dérivé $f'(3)$ .

EXERCICE

Exercice d'application 8 : Nombre dérivé et lecture de pente de tangente

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = x^2 + x$ .

a. Calculer le taux de variation de $f$ entre $1$ et $1+h$ avec $h \neq 0$ , puis donner son interprétation graphique.
b. Démontrer que $f$ est dérivable en $1$ et donner son nombre dérivé $f'(1)$ .

Soit $g$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $g(x) = 2x^2 + 3$ .

a. Calculer le taux de variation de $g$ entre $2$ et $2+h$ avec $h \neq 0$ .
b. En déduire que $g$ est dérivable en $2$ et déterminer $g'(2)$ .

Dans un repère orthonormé, on a tracé la courbe représentative d’une fonction $h$ définie sur $\mathbb{R}$ et la tangente $T$ au point $A(0\,;\,1)$ passant par $B(-1\,;\,0)$ .

a. Déterminer graphiquement la pente de la tangente $T$ .
b. En déduire la valeur du nombre dérivé $h'(0)$ .

# Équations de tangentes et tracés

EXERCICE

Exercice d'application 9 : Déterminer l'équation d'une tangente et appartenance

La fonction $f$ est définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = x^2 + 3x – 7$ . On admet que $f'(3) = 9$ .

Donner l’équation réduite de la tangente à la courbe de $f$ au point d’abscisse $3$ .
Le point $S(10\,;\,80)$ appartient-il à cette droite tangente ? Justifier soigneusement.

EXERCICE

Exercice d'application 10 : Tangentes aux fonctions de référence

Dans un repère orthonormé, déterminer l’équation de la tangente à la courbe représentative au point $A$ d’abscisse donnée :

$f(x) = \dfrac{1}{x}$ sur $]-\infty\,;\,0[ \cup ]0\,;\,+\infty[$ au point $A$ d’abscisse $2$ .
$g(x) = \sqrt{x}$ sur $[0\,;\,+\infty[$ au point $A$ d’abscisse $4$ .
$h(x) = x^2$ sur $\mathbb{R}$ au point $A$ d’abscisse $1$ , puis tracer l’allure de la courbe et de sa tangente.
$k(x) = x^3$ sur $\mathbb{R}$ au point $A$ d’abscisse $1$ .

# Dérivées de polynômes, produits et quotients

EXERCICE

Exercice d'application 11 : Dérivée d'un polynôme et d'un produit

Déterminer la fonction dérivée de chacune des fonctions suivantes définies sur $\mathbb{R}$ :

$f(x) = \dfrac{x^2+1}{3}$ $g(x) = 2x^3 – 5x + 3$
$h(x) = (x+3)(x^2-5x+1)$ $k(x) = -4x^3 + x^2 – 7$
$p(x) = \dfrac{2x^2-x}{5}$ $q(x) = (2x-5)(x^2-2x+2)$

EXERCICE

Exercice d'application 12 : Dérivée d'un quotient

Déterminer la fonction dérivée de chacune des fonctions suivantes en précisant le domaine de dérivabilité :

$g$ est la fonction définie sur $]-\infty\,;\,2[ \cup ]2\,;\,+\infty[$ par $g(x) = \dfrac{3x+1}{x-2}$ .
$h$ est la fonction définie sur $]-\infty\,;\,4[ \cup ]4\,;\,+\infty[$ par $h(x) = \dfrac{-2x+5}{x-4}$ .