Fonctions polynômes du second degré

MATHÉMATIQUES · Première Spécialité

Fonctions polynômes du second degré

Cours structuré et série intensive d'exercices d'approfondissement du programme de Première Spécialité : forme canonique, parabole, discriminant Delta, factorisation, signe, inéquations, modélisation physique, optimisation géométrique, économie et algorithmique Python.

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OBJECTIFS DU CHAPITRE

Ce que l’élève doit maîtriser

Compétence 1

Déterminer et exploiter la forme canonique d’un trinôme du second degré.

Compétence 2

Dresser le tableau de variations d’une fonction polynôme du second degré et identifier les éléments caractéristiques de la parabole (sommet, axe de symétrie).

Compétence 3

Calculer le discriminant $\Delta$ , déterminer les racines réelles éventuelles et factoriser un trinôme.

Compétence 4

Étudier le signe d’un trinôme du second degré et résoudre des inéquations.

Compétence 5

Modéliser des trajectoires physiques paraboliques (cinématique, projectile, saut) à l’aide de la forme développée et canonique.

Compétence 6

Résoudre des problèmes d’optimisation géométrique (recherche d’aires extrémales et inéquations de second degré).

Compétence 7

Traiter des études de coûts, recettes et bénéfices en environnement économique avec le calcul du discriminant $\Delta$ .

Compétence 8

Programmer et analyser des algorithmes numériques en Python (méthode de dichotomie et calculs de seuils).

Compétence 9

Déterminer les coefficients d’un polynôme du second degré à partir de valeurs nodales et de systèmes d’équations.

# Forme développée et forme canonique d'un trinôme

DÉFINITION

Fonction polynôme de degré 2 et Forme développée

Une fonction polynôme de degré 2 (ou trinôme du second degré) est une fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ pouvant s’écrire :

f(x) = ax^2 + bx + c \qquad \text{avec } a, b, c \in \mathbb{R} \text{ et } a \neq 0

Cette écriture est la forme développée de $f$ . Les réels $a$ , $b$ et $c$ sont les coefficients ( $a$ est le coefficient dominant).

PROPRIÉTÉ

Théorème de la forme canonique

Toute fonction polynôme du second degré $f(x) = ax^2 + bx + c$ ( $a \neq 0$ ) admet une écriture unique appelée forme canonique :

f(x) = a(x – \alpha)^2 + \beta \qquad \text{avec} \quad \alpha = -\frac{b}{2a} \quad \text{et} \quad \beta = f(\alpha)

MÉTHODE

Deux démarches pour déterminer la forme canonique

Démarche 1 (Formules directes) : Calculer $\alpha = -\dfrac{b}{2a}$ , puis évaluer l’image $\beta = f(\alpha)$ .
Démarche 2 (Complétion du carré) : Factoriser par $a$ sur les termes en $x$ , puis utiliser l’identité remarquable $x^2 – 2\alpha x = (x – \alpha)^2 – \alpha^2$ .

EXERCICE

Exercice 1 : Déterminer la forme canonique

Déterminer la forme canonique du trinôme $f(x) = -x^2 + 2x – 5$ .

# Variations et représentation graphique (La Parabole)

PROPRIÉTÉ

Sens de variation et extremum

Soit $f$ une fonction polynôme de forme canonique $f(x) = a(x – \alpha)^2 + \beta$ .

Si $a > 0$ : $f$ est strictement décroissante sur $]-\infty\,;\, \alpha]$ puis strictement croissante sur $[\alpha\,;\, +\infty[$ . Elle admet un minimum global égal à $\beta$ , atteint en $x = \alpha$ .
Si $a < 0$ : $f$ est strictement croissante sur $]-\infty\,;\, \alpha]$ puis strictement décroissante sur $[\alpha\,;\, +\infty[$ . Elle admet un maximum global égal à $\beta$ , atteint en $x = \alpha$ .

DÉFINITION

Représentation graphique : Parabole

Dans un repère orthogonal, la courbe représentative $\mathcal{C}_f$ de $f$ est une parabole :

Son sommet est le point $S(\alpha\,;\, \beta)$ .
Son axe de symétrie est la droite verticale d’équation $x = \alpha$ .
Si $a > 0$ , la parabole est tournée vers le haut (branches ascendantes).
Si $a < 0$ , la parabole est tournée vers le bas (branches descendantes).

FORMULE

Tableaux de variations de référence

Cas $a > 0$ (minimum en bas) :

\begin{array}{|c|ccccc|} \hline x & -\infty & & \alpha & & +\infty \\ \hline & +\infty & & & & +\infty \\ \text{Variations de } f & & \searrow & & \nearrow & \\ & & & \beta & & \\ \hline \end{array}

Cas $a < 0$ (maximum au sommet en haut) :

\begin{array}{|c|ccccc|} \hline x & -\infty & & \alpha & & +\infty \\ \hline & & & \beta & & \\ \text{Variations de } f & & \nearrow & & \searrow & \\ & -\infty & & & & -\infty \\ \hline \end{array}

EXERCICE

Exercice 2 : Variations d'une fonction polynôme du second degré

Étudier les variations des fonctions $f$ et $g$ définies sur $\mathbb{R}$ , par :

f(x) = 3 – (x + 2)^2 \qquad \text{et} \qquad g(x) = 2x^2 + 4x – 3

# Équation $ax^2 + bx + c = 0$ , Discriminant $\Delta$ et Factorisation

DÉFINITION

Le Discriminant

Soit le trinôme $f(x) = ax^2 + bx + c$ ( $a \neq 0$ ). On appelle discriminant de $f$ le nombre réel noté $\Delta$ défini par :

\Delta = b^2 – 4ac

PROPRIÉTÉ

Résolution de l'équation $ax^2 + bx + c = 0$ et Factorisation

Le nombre de racines réelles et la factorisation dépendent du signe de $\Delta$ :

Si $\Delta > 0$ : L’équation admet deux racines réelles distinctes :

x_1 = \frac{-b – \sqrt{\Delta}}{2a} \qquad \text{et} \qquad x_2 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}

Le trinôme se factorise sous la forme : $f(x) = a(x – x_1)(x – x_2)$ .

Si $\Delta = 0$ : L’équation admet une unique racine double :

x_0 = -\frac{b}{2a}

Le trinôme se factorise sous la forme : $f(x) = a(x – x_0)^2$ .

Si $\Delta < 0$ : L’équation n’admet aucune racine réelle ( $\mathcal{S} = \emptyset$ ). Le trinôme ne se factorise pas dans $\mathbb{R}$ .

FORMULE

Relations coefficients-racines (Somme et Produit)

Si $x_1$ et $x_2$ sont les deux racines réelles (éventuellement confondues) de $ax^2 + bx + c = 0$ , alors :

S = x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} \qquad \text{et} \qquad P = x_1 \times x_2 = \frac{c}{a}

Racine évidente : Si $x_1 = 1$ (ou $-1$ ), on en déduit directement $x_2 = \dfrac{c}{a}$ (ou $-\dfrac{c}{a}$ ).

EXERCICE

Exercice 3 : Résolution, factorisation et racines évidentes

Résoudre les équations suivantes dans $\mathbb{R}$ :

$x^2 – 3x + 1 = 0$
$x^2 + x + 1 = 0$
$0{,}3x^2 – 3x + 7{,}5 = 0$

Factoriser un trinôme du second degré :

Déterminer les racines éventuelles et en déduire, si possible, une expression factorisée des trinômes suivants :

$f(x) = 3x^2 – 2x + 2$
$g(x) = -2x^2 + 5x + 3$
$h(x) = 18x^2 – 12x + 2$

Détecter les racines d’un polynôme du second degré :

Soit le polynôme $f(x) = 5x^2 – 4x – 1$ .
Trouver une racine dite « évidente » de $f(x)$ et en déduire la deuxième racine.

# Signe d'un trinôme du second degré et inéquations

PROPRIÉTÉ

Signe de $f(x) = ax^2 + bx + c$ sur $\mathbb{R}$

Soit $f(x) = ax^2 + bx + c$ avec $a \neq 0$ et de discriminant $\Delta$ :

Si $\Delta > 0$ : $f(x)$ s’annule en $x_1$ et $x_2$ (avec $x_1 < x_2$ ). $f(x)$ est du signe de $-a$ à l’intérieur des racines (sur $]x_1\,;\, x_2[$ ), et du signe de $a$ à l’extérieur des racines (sur $]-\infty\,;\, x_1[ \cup ]x_2\,;\, +\infty[$ ).
Si $\Delta = 0$ : $f(x)$ s’annule en $x_0 = -\dfrac{b}{2a}$ et est du signe de $a$ pour tout $x \neq x_0$ .
Si $\Delta < 0$ : $f(x)$ ne s’annule jamais et est du signe de $a$ pour tout réel $x \in \mathbb{R}$ .

MÉTHODE

Règle d'or mnémonique pour le signe d'un trinôme

« Un trinôme est toujours du signe de $a$ , sauf entre ses racines (quand elles existent). »

FORMULE

Tableaux de signes de référence selon le signe de $\Delta$

Cas $\Delta > 0$ (2 racines $x_1 < x_2$ ) :

\begin{array}{|c|ccccccc|} \hline x & -\infty & & x_1 & & x_2 & & +\infty \\ \hline f(x) & & \text{signe de } a & 0 & \text{signe de } -a & 0 & \text{signe de } a & \\ \hline \end{array}

Cas $\Delta = 0$ (racine double $x_0$ ) :

\begin{array}{|c|ccccc|} \hline x & -\infty & & x_0 & & +\infty \\ \hline f(x) & & \text{signe de } a & 0 & \text{signe de } a & \\ \hline \end{array}

Cas $\Delta < 0$ (aucune racine réelle) :

\begin{array}{|c|ccc|} \hline x & -\infty & & +\infty \\ \hline f(x) & & \text{signe de } a & \\ \hline \end{array}

EXERCICE

Exercice 4 : Signe d'un trinôme et inéquation

Soit le polynôme $P(x) = (1 – x)(3x – 2)$ .

Justifier que les racines de $P(x)$ sont $1$ et $\dfrac{2}{3}$ , et déterminer le signe de son coefficient dominant $a$ .
Dresser le tableau de signes de $P(x)$ sur $\mathbb{R}$ .
En déduire l’ensemble des solutions de l’inéquation : $(1 – x)(3x – 2) \ge 0$ .

# Tableau de Synthèse Bilan du Chapitre

PROPRIÉTÉ

Synthèse générale du second degré

\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline \text{\textbf{Discriminant}} & \text{\textbf{Équation }} f(x)=0 & \text{\textbf{Factorisation}} & \text{\textbf{Signe de }} f(x) & \text{\textbf{Position de }} \mathcal{C}_f \\ \hline \Delta < 0 & \text{Aucune racine} \ (\mathcal{S} = \emptyset) & \text{Pas de factorisation dans } \mathbb{R} & \text{Signe de } a \text{ sur } \mathbb{R} & \text{Ne coupe jamais l'axe } (Ox) \\ \hline \Delta = 0 & \text{Une racine double } x_0 = -\frac{b}{2a} & f(x) = a(x – x_0)^2 & \text{Signe de } a \ (\text{s'annule en } x_0) & \text{Tangente à l'axe } (Ox) \text{ en } x_0 \\ \hline \Delta > 0 & \text{Deux racines } x_1 < x_2 & f(x) = a(x – x_1)(x – x_2) & \text{Signe de } -a \text{ entre les racines} & \text{Coupe l'axe } (Ox) \text{ en } 2 \text{ points} \\ \hline \end{array}

# Série d'Exercices : Préparation au Bac Anticipé

# Exercice 1 : Carpe koï et héron (Modélisation de trajectoires)

EXERCICE

Carpe koï et héron (Modélisation de trajectoires)

Dans un bassin, une carpe koï effectue un saut hors de l’eau. Dans un repère orthonormé, la trajectoire de la carpe est modélisée par une parabole d’équation :

y = -x^2 + 4x – 4

où $x$ représente la distance horizontale parcourue et $y$ la hauteur par rapport au niveau de l’eau (toutes les coordonnées sont exprimées en mètre).

Au même instant, un héron plonge pour tenter d’attraper la carpe. Sa trajectoire parabolique est modélisée dans le même repère par :

y = x^2 – 4x + 2

Question :

Est-il possible d’atteindre la carpe ? Le cas échéant, combien de fois est-ce possible ?

MÉTHODE

Coup de pouce

Modéliser la rencontre par le système formé par les deux équations de paraboles, ce qui revient à résoudre l’équation $-x^2 + 4x – 4 = x^2 – 4x + 2$ , soit $2x^2 – 8x + 6 = 0$ . Étudier le discriminant $\Delta = (-8)^2 – 4(2)(6) = 64 – 48 = 16 > 0$ pour déterminer le nombre de points d’intersection. Comme $\Delta > 0$ , l’équation admet deux solutions réelles distinctes $x_1 = \dfrac{8 – 4}{4} = 1$ et $x_2 = \dfrac{8 + 4}{4} = 3$ , correspondant à deux opportunités d’interception.

# Exercice 2 : Lancer de micro-fusée (Forme canonique et altitude)

EXERCICE

Lancer de micro-fusée (Forme canonique et altitude)

Un collégien lance une micro-fusée depuis le sol d’un champ, fusée dans laquelle il a installé un altimètre.

Il procède aux réglages pour un lancement afin de déterminer au bout de combien de secondes doit sortir le parachute qui ralentira la chute.

Il dispose des informations suivantes : la micro-fusée effectue une trajectoire parabolique, elle atteint une altitude maximale de $180\text{ mètres}$ au bout de $6\text{ secondes}$ . Le parachute doit sortir à $100\text{ m}$ d’altitude, lors de la phase de descente.

Question :

Combien de secondes après le décollage la trappe du parachute doit-elle s’ouvrir ?

MÉTHODE

Coup de pouce

Utiliser la forme canonique $h(t) = a(t-\alpha)^2 + \beta$ avec le sommet $(\alpha\,;\,\beta) = (6\,;\,180)$ . Sachant que la fusée décolle du sol à $t = 0$ ( $h(0) = 0$ ), on a $a(0-6)^2 + 180 = 0 \iff 36a = -180 \iff a = -5$ . L’altitude s’écrit donc $h(t) = -5(t-6)^2 + 180$ . Résoudre ensuite l’équation $-5(t-6)^2 + 180 = 100 \iff -5(t-6)^2 = -80 \iff (t-6)^2 = 16 \iff t-6 = 4$ ou $t-6 = -4$ . Sélectionner l’instant correspondant à la phase de descente ( $t > 6$ ), soit $t = 6 + 4 = 10\text{ secondes}$ .

# Exercice 3 : Cadre photo (Égalité d'aires)

EXERCICE

Cadre photo (Égalité d'aires)

On veut encadrer une photographie de dimensions $8\text{ cm} \times 15\text{ cm}$ . On souhaite un cadre rectangulaire de largeur constante tout autour de la photographie, et de sorte que l’aire du cadre soit égale à l’aire de la photographie elle-même.

On souhaite déterminer la largeur de ce cadre.

Questions :

Réaliser une figure à l’aide d’un logiciel de géométrie dynamique et conjecturer une valeur approchée de cette largeur.
Déterminer la valeur exacte de cette largeur.

MÉTHODE

Coup de pouce

En notant $x$ la largeur du cadre en cm ( $x > 0$ ), la photo a pour aire $15 \times 8 = 120\text{ cm}^2$ . Le rectangle total incluant le cadre a pour dimensions $(15 + 2x)$ et $(8 + 2x)$ . Exprimer l’aire du cadre par $(15+2x)(8+2x) – 120$ . L’égalité d’aire donne $(15+2x)(8+2x) – 120 = 120$ , soit $4x^2 + 46x – 120 = 0 \iff 2x^2 + 23x – 60 = 0$ . Le discriminant vaut $\Delta = 23^2 – 4(2)(-60) = 529 + 480 = 1\,009$ . La solution strictement positive est $x = \dfrac{-23 + \sqrt{1\,009}}{4} \approx 2{,}19\text{ cm}$ .

# Exercice 4 : Voitures moins chères (Modélisation économique)

EXERCICE

Voitures moins chères (Modélisation économique)

Un constructeur automobile décide de commercialiser des automobiles à bas coût : chaque voiture doit être vendue $6\,000\text{ euros}$ . Sa production $q$ peut varier entre $0$ et $100\,000\text{ voitures}$ . Suite à une étude réalisée, les coûts de production sont donnés par la formule suivante :

C(q) = 0{,}05q^2 + q + 80

( $q$ exprimé en millier et $C(q)$ exprimé en millier d’euros).

On appelle coût fixe le coût que supporte l’entreprise même si la production est nulle.

Questions :

Quel est le coût fixe supporté par cette entreprise de construction automobile ?
Déterminer la quantité à partir de laquelle le coût de production est supérieur à $200\,000\text{ \text{ €}}$ .
À combien s’élève la recette pour une telle production ?
Exprimer, en fonction de $q$ , la recette notée $R(q)$ , en millier d’euros.
En déduire la fonction polynôme du second degré qui donne les bénéfices réalisés par l’entreprise.
Dans quel intervalle doit se situer la quantité de voitures produites pour réaliser un bénéfice ?
Quel est le nombre d’automobiles à produire pour obtenir un bénéfice maximal et quel est ce bénéfice ?

MÉTHODE

Coup de pouce

Attention aux unités : $q \in [0\,;\,100]$ représente des milliers de véhicules et $C(q)$ des milliers d’euros. Le coût fixe vaut $C(0) = 80$ milliers d’euros ( $80\,000\text{ \text{ €}}$ ). Pour la question 2, résoudre $C(q) > 200 \iff 0{,}05q^2 + q – 120 > 0$ . Pour la question 4, avec un prix de vente unitaire de $6$ milliers d’euros, $R(q) = 6q$ . Le bénéfice est $B(q) = R(q) – C(q) = -0{,}05q^2 + 5q – 80$ . Étudier le signe de $B(q)$ via ses racines ( $q = 20$ et $q = 80$ ) et déterminer son sommet en $\alpha = -\dfrac{5}{2(-0{,}05)} = 50$ milliers d’automobiles avec un bénéfice maximal de $B(50) = 45$ milliers d’euros ( $45\,000\text{ \text{ €}}$ ).

# Exercice 5 : Lancer de javelot (Hauteur et durée de vol)

EXERCICE

Lancer de javelot (Hauteur et durée de vol)

Une athlète lance un javelot à l’instant $t = 0$ . La hauteur $h(t)$ , en mètre, à l’instant $t$ , en seconde, du centre de gravité est :

h(t) = -\frac{1}{2}t^2 + 8t + 2

La hauteur est mesurée à partir du sol.

Questions :

À quel instant le javelot est-il au plus haut ?
Le javelot atteindra-t-il une hauteur de $32\text{ m}$ ? À quels instants ?
Le javelot atteindra-t-il une hauteur de $35\text{ m}$ ?
À quel instant le javelot touchera-t-il le sol ?

MÉTHODE

Coup de pouce

Pour la question 1, calculer l’abscisse du sommet $\alpha = -\dfrac{b}{2a} = -\dfrac{8}{2(-0{,}5)} = 8\text{ s}$ ; la hauteur maximale vaut $h(8) = 34\text{ m}$ . Pour la question 2, résoudre $h(t) = 32 \iff -0{,}5t^2 + 8t – 30 = 0$ , soit $t^2 – 16t + 60 = 0$ , $\Delta = 16$ , d’où $t = 6\text{ s}$ et $t = 10\text{ s}$ . Pour la question 3, comme le maximum est $34\text{ m} < 35\text{ m}$ (ou $\Delta = 8^2 – 4(-0{,}5)(-33) = -2 < 0$ ), l’altitude de $35\text{ m}$ n’est jamais atteinte. Pour la question 4, chercher la racine positive de $h(t) = 0$ avec $\Delta = 8^2 – 4(-0{,}5)(2) = 68$ , soit $t = \dfrac{-8 – \sqrt{68}}{-1} = 8 + \sqrt{68} \approx 16{,}25\text{ s}$ .

# Exercice 6 : Trajectoire d'un projectile (Paramètre de vitesse initiale)

EXERCICE

Trajectoire d'un projectile (Paramètre de vitesse initiale)

Un projectile est lancé d’une hauteur de $2\text{ mètres}$ avec une vitesse initiale $v_0$ exprimée en $\text{m}\cdot\text{s}^{-1}$ . On néglige les frottements de l’air, le projectile n’est soumis qu’à une seule force, son poids ; son mouvement est parabolique et dépend de $v_0$ .

La hauteur du projectile en mètre est :

h(t) = -\frac{1}{2}gt^2 + v_0 t + 2

avec $h$ fonction du temps, $g$ l’intensité de la pesanteur terrestre et $t$ la durée en seconde. On prend $g = 10\text{ m}\cdot\text{s}^{-2}$ dans la suite de l’exercice.

Questions :

Pour quelle(s) valeur(s) de $v_0$ le projectile atteindra-t-il une hauteur de $4\text{ m}$ au moins ?
Pour quelle(s) valeur(s) de $v_0$ le projectile ne touchera-t-il pas terre avant $2{,}5\text{ secondes}$ ?
Pour quelle(s) valeur(s) de $v_0$ le projectile atteindra-t-il une hauteur de $4\text{ m}$ au moins et ne touchera-t-il pas terre avant $5\text{ secondes}$ ?

MÉTHODE

Coup de pouce

Avec $g = 10$ , $h(t) = -5t^2 + v_0 t + 2$ . Le maximum est atteint en $t = \dfrac{v_0}{10}$ ; exprimer l’altitude maximale $\beta = h\left(\dfrac{v_0}{10}\right) = -5\left(\dfrac{v_0}{10}\right)^2 + v_0\left(\dfrac{v_0}{10}\right) + 2 = \dfrac{v_0^2}{20} + 2$ . Résoudre $\beta \ge 4 \iff \dfrac{v_0^2}{20} \ge 2 \iff v_0^2 \ge 40 \iff v_0 \ge \sqrt{40} \approx 6{,}32\text{ m}\cdot\text{s}^{-1}$ . Pour la question 2, le projectile est encore en l’air à $t = 2{,}5\text{ s}$ si $h(2{,}5) \ge 0 \iff -5(2{,}5)^2 + 2{,}5 v_0 + 2 \ge 0 \iff 2{,}5 v_0 \ge 29{,}25 \iff v_0 \ge 11{,}7\text{ m}\cdot\text{s}^{-1}$ . Pour la question 3, calculer $h(5) \ge 0 \iff -5(25) + 5v_0 + 2 \ge 0 \iff 5v_0 \ge 123 \iff v_0 \ge 24{,}6\text{ m}\cdot\text{s}^{-1}$ .

# Exercice 7 : Enclos pour poussins (Aire maximale sous contrainte)

EXERCICE

Enclos pour poussins (Aire maximale sous contrainte)

Un éleveur de poussins désire construire un enclos de forme rectangulaire contre le mur de son hangar. Il dispose d’un rouleau de grillage de $20\text{ mètres}$ pour clôturer les trois côtés restants.

On note $x$ la largeur de l’enclos perpendiculaire au mur, et $A(x)$ l’aire de l’enclos en fonction de $x$ .

Questions :

Exprimer la longueur du troisième côté en fonction de $x$ , puis montrer que l’aire de l’enclos est donnée par :

A(x) = 20x – 2x^2

Dresser le tableau de variations de la fonction $A$ sur un intervalle que l’on précisera.
En déduire les dimensions de l’enclos qui permettent d’obtenir une aire maximale, ainsi que la valeur de cette aire maximale.

MÉTHODE

Coup de pouce

La longueur de grillage utilisée pour les deux largeurs et la longueur parallèle au mur est $2x + L = 20$ , d’où $L = 20 – 2x$ avec $x \in ]0\,;\,10[$ . L’aire vaut $A(x) = x(20 – 2x) = -2x^2 + 20x$ . Le coefficient de $x^2$ est négatif ( $a = -2 < 0$ ), donc la parabole admet un maximum atteint au sommet $\alpha = -\dfrac{b}{2a} = -\dfrac{20}{2(-2)} = 5\text{ m}$ . L’aire maximale vaut $A(5) = 5(10) = 50\text{ m}^2$ , obtenue pour une largeur de $5\text{ m}$ et une longueur de $10\text{ m}$ .

# Exercice 8 : Aire hachurée dans un carré (Optimisation géométrique)

EXERCICE

Aire hachurée dans un carré (Optimisation géométrique)

Dans un carré $ABCD$ de côté $4\text{ cm}$ , on place un point $M$ mobile sur le segment $[AB]$ . On pose $AM = x$ avec $x \in [0\,;\,4]$ .

On construit à l’intérieur du carré :

un petit carré de côté $[AM]$ (donc de côté $x$ ) situé dans le coin supérieur gauche ;
un triangle isocèle de base $[MB]$ (longueur $4 – x$ ) et dont la hauteur relative a pour longueur $4 – x$ .

La surface hachurée est constituée du petit carré et du triangle isocèle.

Questions :

Exprimer l’aire du petit carré et l’aire du triangle isocèle en fonction de $x$ .
Montrer que l’aire de la surface hachurée, notée $f(x)$ , est donnée pour tout $x \in [0\,;\,4]$ par :

f(x) = \frac{3}{2}x^2 – 4x + 8

Déterminer la (ou les) position(s) du point $M$ telle(s) que l’aire hachurée soit égale à la moitié de l’aire du grand carré $ABCD$ .

MÉTHODE

Coup de pouce

L’aire du petit carré est $x^2$ . L’aire du triangle isocèle vaut $\dfrac{1}{2} \times \text{base} \times \text{hauteur} = \dfrac{1}{2}(4-x)^2 = \dfrac{1}{2}(x^2 – 8x + 16)$ . L’aire totale est la somme des deux, soit $f(x) = x^2 + \dfrac{1}{2}x^2 – 4x + 8 = \dfrac{3}{2}x^2 – 4x + 8$ . L’aire du grand carré est $4^2 = 16$ , sa moitié vaut $8$ . Résoudre $f(x) = 8 \iff \dfrac{3}{2}x^2 – 4x = 0 \iff x\left(\dfrac{3}{2}x – 4\right) = 0$ . Les solutions sont $x = 0$ ( $M$ confondu avec $A$ ) et $x = \dfrac{8}{3}\text{ cm} \approx 2{,}67\text{ cm}$ .

# Exercice 9 : Optimisation d'une surface bleue (Partage de carré)

EXERCICE

Optimisation d'une surface bleue (Partage de carré)

$ABCD$ est un carré de côté $8$ . Soit $P$ un point mobile sur le segment $[AB]$ . On pose $AP = x$ avec $x \in [0\,;\,8]$ .

On considère la surface constituée :

du carré de côté $AP$ (côté $x$ ) ;
du triangle $PDC$ de base $DC = 8$ et de hauteur relative égale à $8 – x$ .

Questions :

Déterminer la position du point $P$ sur le segment $[AB]$ telle que l’aire de la surface soit minimale.
Où doit-on placer le point $P$ pour que la surface occupe $75\,\%$ de la surface du carré ?
Est-il possible que l’aire de la surface soit égale au quart de l’aire du carré ?

MÉTHODE

Coup de pouce

L’aire de la surface est $S(x) = x^2 + \dfrac{1}{2} \times 8 \times (8 – x) = x^2 – 4x + 32$ . L’aire totale du carré vaut $8^2 = 64$ . Pour la question 1, avec $a = 1 > 0$ , le minimum est atteint au sommet $\alpha = -\dfrac{-4}{2(1)} = 2$ ; l’aire minimale est $S(2) = 28$ . Pour la question 2, $75\,\%$ de $64$ vaut $48$ ; résoudre $x^2 – 4x + 32 = 48 \iff x^2 – 4x – 16 = 0$ , $\Delta = 80$ , solution dans $[0\,;\,8]$ : $x = 2 + 2\sqrt{5} \approx 6{,}47$ . Pour la question 3, le quart vaut $16$ ; l’équation $x^2 – 4x + 32 = 16 \iff x^2 – 4x + 16 = 0$ a pour discriminant $\Delta = 16 – 64 = -48 < 0$ , donc c’est impossible.

# Exercice 10 : Découpe d'une vitre (Inéquation de surface)

EXERCICE

Découpe d'une vitre (Inéquation de surface)

Un verrier souhaite tailler une vitre. Il utilise un carré de verre de $3\text{ mètres}$ de côté. Dans le carré, il découpe un rectangle de largeur $x$ sur toute la longueur inférieure et deux triangles rectangles isocèles de côté $x$ aux deux coins supérieurs.

Il souhaite que la vitre restante obtenue ait une aire supérieure à $5\text{ m}^2$ .

Question :

Comment doit-il choisir les dimensions de sa découpe $x$ ?

MÉTHODE

Coup de pouce

Le carré initial a une aire de $3^2 = 9\text{ m}^2$ . Les chutes découpées ont pour aire $3x$ (rectangle inférieur de dimensions $3 \times x$ ) et $2 \times \dfrac{x^2}{2} = x^2$ (les deux coins triangulaires supérieurs). L’aire restante est $S(x) = 9 – (x^2 + 3x) = -x^2 – 3x + 9$ . Résoudre l’inéquation $-x^2 – 3x + 9 > 5 \iff -x^2 – 3x + 4 > 0$ . Les racines de $-x^2 – 3x + 4 = 0$ sont $x_1 = 1$ et $x_2 = -4$ . Le trinôme est strictement positif entre ses racines (car $a = -1 < 0$ ), soit sur $]-4\,;\,1[$ . En tenant compte de la contrainte physique $0 < x < 1{,}5$ , le verrier doit choisir $x \in ]0\,;\,1[$ , c’est-à-dire une découpe strictement inférieure à $1\text{ mètre}$ .

# Exercice 11 : Disques tangents sur un segment (Géométrie et Algorithmique)

EXERCICE

Disques tangents sur un segment (Géométrie et Algorithmique)

Soit un segment $[AB]$ de longueur $10$ et un point $M$ mobile sur ce segment. On construit les deux disques tangents de diamètres respectifs $[AM]$ et $[BM]$ , situés à l’intérieur du disque de diamètre $[AB]$ .

Questions :

Déterminer la position du point $M$ pour que la somme des aires des disques de diamètre $[AM]$ et $[BM]$ soit minimale.
Déterminer la position du point $M$ pour que la somme des aires des disques de diamètre $[AM]$ et $[BM]$ soit égale à la moitié de l’aire du disque de diamètre $[AB]$ .
Compléter l’algorithme suivant écrit en langage naturel qui détermine, au dixième près, la plus petite longueur du segment $[AM]$ pour laquelle la somme des aires des disques de diamètre $[AM]$ et $[BM]$ est inférieure ou égale à $60$ :

\begin{array}{l} x \leftarrow 0 \\ y \leftarrow \dots \\ \textbf{Tant que } \dots \textbf{ faire} \\ \quad x \leftarrow x + 0{,}1 \\ \quad \dots \\ \textbf{Afficher } x \end{array}

MÉTHODE

Coup de pouce

En posant $x = AM$ ( $x \in [0\,;\,10]$ ), les rayons sont $\dfrac{x}{2}$ et $\dfrac{10-x}{2}$ . La somme des deux aires est $S(x) = \pi \left(\dfrac{x}{2}\right)^2 + \pi \left(\dfrac{10-x}{2}\right)^2 = \dfrac{\pi}{4}\left(x^2 + (10-x)^2\right) = \dfrac{\pi}{2}(x^2 – 10x + 50)$ .

Le coefficient $a = \dfrac{\pi}{2} > 0$ , le minimum est atteint au sommet $\alpha = -\dfrac{-10}{2} = 5$ ( $M$ milieu de $[AB]$ ). L’aire minimale est $S(5) = 12{,}5\pi \approx 39{,}27$ .
L’aire du grand disque vaut $\pi \times 5^2 = 25\pi$ , sa moitié vaut $12{,}5\pi$ . L’égalité $S(x) = 12{,}5\pi$ est satisfaite uniquement au minimum $x = 5$ .
Dans l’algorithme : initialiser $y \leftarrow \dfrac{\pi}{2}(0^2 – 10(0) + 50) = 25\pi \approx 78{,}54$ . La boucle continue tant que $y > 60$ . À chaque pas, recalculer $y \leftarrow \dfrac{\pi}{2}(x^2 – 10x + 50)$ . À la sortie, afficher $x$ .

# Exercice 12 : Prolifération bactérienne (Modélisation biologique et Python)

EXERCICE

Prolifération bactérienne (Modélisation biologique et Python)

Un scientifique étudie la prolifération d’un certain type de bactéries. Il modélise le nombre de bactéries comme une fonction du temps $t$ exprimé en heure, définie par :

N(t) = 3t^2 + 69t + 150

Questions :

Au bout de combien de temps le nombre initial de bactéries aura-t-il augmenté de $150\,\%$ ? Au bout de combien de temps le nombre initial de bactéries aura-t-il été multiplié par $10$ ?
Écrire un algorithme en langage Python qui permet de connaître au bout de combien de temps le nombre initial de bactéries aura dépassé un certain nombre donné par l’utilisateur.

MÉTHODE

Coup de pouce

Le nombre initial est $N(0) = 150$ . Une hausse de $150\,\%$ équivaut à un coefficient multiplicateur de $1 + 1{,}5 = 2{,}5$ , soit une cible de $150 \times 2{,}5 = 375$ bactéries. Résoudre $3t^2 + 69t + 150 = 375 \iff 3t^2 + 69t – 225 = 0 \iff t^2 + 23t – 75 = 0$ , $\Delta = 829$ , racine positive $t = \dfrac{-23 + \sqrt{829}}{2} \approx 2{,}90\text{ heures}$ (environ $2\text{ h } 54\text{ min}$ ). Une multiplication par $10$ correspond à une cible de $1\,500$ bactéries ; résoudre $3t^2 + 69t – 1\,350 = 0 \iff t^2 + 23t – 450 = 0$ , $\Delta = 2\,329$ , racine positive $t = \dfrac{-23 + \sqrt{2\,329}}{2} \approx 12{,}63\text{ heures}$ (environ $12\text{ h } 38\text{ min}$ ).

En Python :
def temps_depassement(seuil):
\quad t = 0
\quad while 3*t**2 + 69*t + 150 <= seuil:
\quad \quad t += 0.01
\quad return round(t, 2)

# Exercice 13 : Coefficients d'un trinôme (Système d'équations nodales)

EXERCICE

Coefficients d'un trinôme (Système d'équations nodales)

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par :

f(x) = ax^2 + bx + c

et telle que :

f(0) = \frac{9}{2}, \quad f(2) = 0 \quad \text{et} \quad f(-3) = \frac{39}{4}

Question :

Déterminer les réels $a$ , $b$ et $c$ .

MÉTHODE

Coup de pouce

Traduire les trois conditions nodales en équations :

$f(0) = c = \dfrac{9}{2}$ .
$f(2) = 4a + 2b + c = 0 \iff 4a + 2b = -\dfrac{9}{2} \iff 8a + 4b = -9$ .
$f(-3) = 9a – 3b + c = \dfrac{39}{4} \iff 9a – 3b = \dfrac{39}{4} – \dfrac{18}{4} = \dfrac{21}{4} \iff 12a – 4b = 7$ .

En additionnant membre à membre les deux équations :

(8a + 4b) + (12a – 4b) = -9 + 7 \iff 20a = -2 \implies a = -\frac{1}{10}

On en déduit $4b = -9 – 8a = -9 – 8\left(-\dfrac{1}{10}\right) = -9 + \dfrac{4}{5} = -\dfrac{41}{5} \implies b = -\dfrac{41}{20}$ .
L’expression du trinôme est donc :

f(x) = -\frac{1}{10}x^2 – \frac{41}{20}x + \frac{9}{2}

# Exercice 14 : Algorithme du nombre d'or (Recherche par dichotomie)

EXERCICE

Algorithme du nombre d'or (Recherche par dichotomie)

On donne l’algorithme suivant écrit en langage naturel :

\begin{array}{l} a \leftarrow 1 \\ b \leftarrow 2 \\ \textbf{Tant que } b – a > 0{,}01 \textbf{ faire} \\ \quad x \leftarrow \dfrac{a + b}{2} \\ \quad \textbf{Si } x^2 < x + 1 \textbf{ alors} \\ \quad \quad a \leftarrow x \\ \quad \textbf{Sinon} \\ \quad \quad b \leftarrow x \\ \textbf{Afficher } x \end{array}

Questions :
1.

a. Quelle est la condition pour que l’algorithme s’arrête ?
b. Quel est le rôle de cet algorithme ?
c. Traduire cet algorithme en langage Python et l’écrire dans un éditeur Python. Quelle est alors la valeur de $x$ obtenue ?

Calculer la valeur exacte de la solution positive de l’équation $x^2 = x + 1$ . Ce nombre est le nombre d’or.

MÉTHODE

Coup de pouce

a. L’algorithme s’arrête lorsque la largeur de l’intervalle devient inférieure ou égale à $0{,}01$ , c’est-à-dire dès que $b – a \le 0{,}01$ .
b. Il recherche une approximation par dichotomie à $0{,}01$ près de la solution positive de l’équation $x^2 = x + 1$ (ou $x^2 – x – 1 = 0$ ).
c. En Python, la boucle produit après 7 itérations la valeur approchée $x \approx 1{,}6171875$ (encadrement $[1{,}6171875\,;\,1{,}625]$ ).
L’équation équivaut à $x^2 – x – 1 = 0$ . Le discriminant vaut $\Delta = (-1)^2 – 4(1)(-1) = 5 > 0$ . L’unique racine strictement positive est le nombre d’or :

\varphi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \approx 1{,}6180339887\dots

# Exercice 15 : Festival pyrotechnique (Sujet type Bac)

EXERCICE

Festival pyrotechnique (Trajectoires de fusées et sécurité)

À l’occasion d’un festival pyrotechnique, un artificier se prépare à lancer des fusées à partir d’une plate-forme située à $8\text{ mètres}$ de hauteur. Il dispose de deux types de fusées, notés A et B.

Partie A : Fusées de type A (Étude graphique)

La hauteur, en mètre, atteinte par les fusées de type A en fonction de leur temps de vol $t$ , exprimé en dixième de seconde, est modélisée par la courbe ci-dessous :

Déterminer graphiquement la hauteur de la fusée après $0{,}7\text{ seconde}$ de vol (soit $t = 7$ ).
Pour des raisons de sécurité, la fusée ne doit exploser que si son altitude est supérieure ou égale à $40\text{ mètres}$ . Déterminer graphiquement l’intervalle de temps pendant lequel la fusée atteint au moins $40\text{ mètres}$ d’altitude.

Partie B : Fusées de type B (Étude algébrique)

On modélise la hauteur $h(t)$ , en mètre, de la fusée de type B en fonction du temps de vol $t$ , exprimé en dixième de seconde, par la fonction définie sur $[0\,;\,20]$ par :

h(t) = -0{,}5t^2 + 10t + 8

Montrer que la fusée se trouve à une altitude supérieure ou égale à $40\text{ mètres}$ si et seulement si $-0{,}5t^2 + 10t – 32 \ge 0$ .
Résoudre cette inéquation dans l’intervalle $[0\,;\,20]$ . En déduire l’intervalle de temps pendant lequel la fusée de type B peut exploser en toute sécurité.
Déterminer la hauteur maximale atteinte par la fusée de type B ainsi que l’instant auquel cette hauteur est atteinte.

MÉTHODE

Coup de pouce

Partie A : Par lecture graphique, repérer l’abscisse $t = 7$ et lire l’ordonnée correspondante sur la courbe : $h(7) = 57\text{ m}$ . Pour la sécurité, tracer la droite horizontale d’ordonnée $y = 40$ ; la courbe se situe au-dessus de cette droite pour $t \in [2\,;\,12]$ dixièmes de seconde, soit entre $0{,}2\text{ s}$ et $1{,}2\text{ s}$ .

Partie B :

$h(t) \ge 40 \iff -0{,}5t^2 + 10t + 8 \ge 40 \iff -0{,}5t^2 + 10t – 32 \ge 0$ .
Calculer le discriminant du trinôme : $\Delta = 10^2 – 4(-0{,}5)(-32) = 100 – 64 = 36 > 0$ . Les deux racines sont $t_1 = \dfrac{-10 – 6}{2(-0{,}5)} = 16$ et $t_2 = \dfrac{-10 + 6}{2(-0{,}5)} = 4$ . Comme le coefficient dominant est $a = -0{,}5 < 0$ , le trinôme est positif entre ses racines : la condition de sécurité est respectée pour $t \in [4\,;\,16]$ dixièmes de seconde, soit entre $0{,}4\text{ s}$ et $1{,}6\text{ s}$ .
La hauteur maximale est atteinte au sommet $\alpha = -\dfrac{b}{2a} = \dfrac{-10}{2(-0{,}5)} = 10$ dixièmes de seconde ( $1\text{ seconde}$ de vol). L’altitude maximale est $h(10) = -0{,}5(10)^2 + 10(10) + 8 = -50 + 100 + 8 = 58\text{ mètres}$ .