Fonctions polynômes du second degré

OBJECTIFS DU CHAPITRE

Ce que l’élève doit maîtriser

01

Compétence 1

Déterminer et exploiter la forme canonique d’un trinôme du second degré.

02

Compétence 2

Dresser le tableau de variations d’une fonction polynôme du second degré et identifier les éléments caractéristiques de la parabole (sommet, axe de symétrie).

03

Compétence 3

Calculer le discriminant $\Delta$ , déterminer les racines réelles éventuelles et factoriser un trinôme.

04

Compétence 4

Étudier le signe d’un trinôme du second degré et résoudre des inéquations.

# Forme développée et forme canonique d'un trinôme

DÉFINITION

Fonction polynôme de degré 2 et Forme développée

Une fonction polynôme de degré 2 (ou trinôme du second degré) est une fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ pouvant s’écrire :

f(x) = ax^2 + bx + c \qquad \text{avec } a, b, c \in \mathbb{R} \text{ et } a \neq 0

Cette écriture est la forme développée de $f$ . Les réels $a$ , $b$ et $c$ sont les coefficients ( $a$ est le coefficient dominant).

PROPRIÉTÉ

Théorème de la forme canonique

Toute fonction polynôme du second degré $f(x) = ax^2 + bx + c$ ( $a \neq 0$ ) admet une écriture unique appelée forme canonique :

f(x) = a(x – \alpha)^2 + \beta \qquad \text{avec} \quad \alpha = -\frac{b}{2a} \quad \text{et} \quad \beta = f(\alpha)

MÉTHODE

Deux démarches pour déterminer la forme canonique

Démarche 1 (Formules directes) : Calculer $\alpha = -\dfrac{b}{2a}$ , puis évaluer l’image $\beta = f(\alpha)$ .
Démarche 2 (Complétion du carré) : Factoriser par $a$ sur les termes en $x$ , puis utiliser l’identité remarquable $x^2 – 2\alpha x = (x – \alpha)^2 – \alpha^2$ .

EXERCICE

Exercice 1 : Déterminer la forme canonique

Déterminer la forme canonique du trinôme $f(x) = -x^2 + 2x – 5$ .

# Variations et représentation graphique (La Parabole)

PROPRIÉTÉ

Sens de variation et extremum

Soit $f$ une fonction polynôme de forme canonique $f(x) = a(x – \alpha)^2 + \beta$ .

Si $a > 0$ : $f$ est strictement décroissante sur $]-\infty\,;\, \alpha]$ puis strictement croissante sur $[\alpha\,;\, +\infty[$ . Elle admet un minimum global égal à $\beta$ , atteint en $x = \alpha$ .
Si $a < 0$ : $f$ est strictement croissante sur $]-\infty\,;\, \alpha]$ puis strictement décroissante sur $[\alpha\,;\, +\infty[$ . Elle admet un maximum global égal à $\beta$ , atteint en $x = \alpha$ .

DÉFINITION

Représentation graphique : Parabole

Dans un repère orthogonal, la courbe représentative $\mathcal{C}_f$ de $f$ est une parabole :

Son sommet est le point $S(\alpha\,;\, \beta)$ .
Son axe de symétrie est la droite verticale d’équation $x = \alpha$ .
Si $a > 0$ , la parabole est tournée vers le haut (branches ascendantes).
Si $a < 0$ , la parabole est tournée vers le bas (branches descendantes).

FORMULE

Tableaux de variations de référence

Cas $a > 0$ (minimum en bas) :

\begin{array}{|c|ccccc|} \hline x & -\infty & & \alpha & & +\infty \\ \hline & +\infty & & & & +\infty \\ \text{Variations de } f & & \searrow & & \nearrow & \\ & & & \beta & & \\ \hline \end{array}

Cas $a < 0$ (maximum au sommet en haut) :

\begin{array}{|c|ccccc|} \hline x & -\infty & & \alpha & & +\infty \\ \hline & & & \beta & & \\ \text{Variations de } f & & \nearrow & & \searrow & \\ & -\infty & & & & -\infty \\ \hline \end{array}

EXERCICE

Exercice 2 : Variations d'une fonction polynôme du second degré

Étudier les variations des fonctions $f$ et $g$ définies sur $\mathbb{R}$ , par :

f(x) = 3 – (x + 2)^2 \qquad \text{et} \qquad g(x) = 2x^2 + 4x – 3

# Équation $ax^2 + bx + c = 0$ , Discriminant $\Delta$ et Factorisation

DÉFINITION

Le Discriminant

Soit le trinôme $f(x) = ax^2 + bx + c$ ( $a \neq 0$ ). On appelle discriminant de $f$ le nombre réel noté $\Delta$ défini par :

\Delta = b^2 – 4ac

PROPRIÉTÉ

Résolution de l'équation $ax^2 + bx + c = 0$ et Factorisation

Le nombre de racines réelles et la factorisation dépendent du signe de $\Delta$ :

Si $\Delta > 0$ : L’équation admet deux racines réelles distinctes :

x_1 = \frac{-b – \sqrt{\Delta}}{2a} \qquad \text{et} \qquad x_2 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}

Le trinôme se factorise sous la forme : $f(x) = a(x – x_1)(x – x_2)$ .

Si $\Delta = 0$ : L’équation admet une unique racine double :

x_0 = -\frac{b}{2a}

Le trinôme se factorise sous la forme : $f(x) = a(x – x_0)^2$ .

Si $\Delta < 0$ : L’équation n’admet aucune racine réelle ( $\mathcal{S} = \emptyset$ ). Le trinôme ne se factorise pas dans $\mathbb{R}$ .

FORMULE

Relations coefficients-racines (Somme et Produit)

Si $x_1$ et $x_2$ sont les deux racines réelles (éventuellement confondues) de $ax^2 + bx + c = 0$ , alors :

S = x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} \qquad \text{et} \qquad P = x_1 \times x_2 = \frac{c}{a}

Racine évidente : Si $x_1 = 1$ (ou $-1$ ), on en déduit directement $x_2 = \dfrac{c}{a}$ (ou $-\dfrac{c}{a}$ ).

EXERCICE

Exercice 3 : Résolution, factorisation et racines évidentes

Résoudre les équations suivantes dans $\mathbb{R}$ :

$x^2 – 3x + 1 = 0$
$x^2 + x + 1 = 0$
$0{,}3x^2 – 3x + 7{,}5 = 0$

Factoriser un trinôme du second degré :

Déterminer les racines éventuelles et en déduire, si possible, une expression factorisée des trinômes suivants :

$f(x) = 3x^2 – 2x + 2$
$g(x) = -2x^2 + 5x + 3$
$h(x) = 18x^2 – 12x + 2$

Détecter les racines d’un polynôme du second degré :

Soit le polynôme $f(x) = 5x^2 – 4x – 1$ .
Trouver une racine dite « évidente » de $f(x)$ et en déduire la deuxième racine.

# Signe d'un trinôme du second degré et inéquations

PROPRIÉTÉ

Signe de $f(x) = ax^2 + bx + c$ sur $\mathbb{R}$

Soit $f(x) = ax^2 + bx + c$ avec $a \neq 0$ et de discriminant $\Delta$ :

Si $\Delta > 0$ : $f(x)$ s’annule en $x_1$ et $x_2$ (avec $x_1 < x_2$ ). $f(x)$ est du signe de $-a$ à l’intérieur des racines (sur $]x_1\,;\, x_2[$ ), et du signe de $a$ à l’extérieur des racines (sur $]-\infty\,;\, x_1[ \cup ]x_2\,;\, +\infty[$ ).
Si $\Delta = 0$ : $f(x)$ s’annule en $x_0 = -\dfrac{b}{2a}$ et est du signe de $a$ pour tout $x \neq x_0$ .
Si $\Delta < 0$ : $f(x)$ ne s’annule jamais et est du signe de $a$ pour tout réel $x \in \mathbb{R}$ .

MÉTHODE

Règle d'or mnémonique pour le signe d'un trinôme

« Un trinôme est toujours du signe de $a$ , sauf entre ses racines (quand elles existent). »

FORMULE

Tableaux de signes de référence selon le signe de $\Delta$

Cas $\Delta > 0$ (2 racines $x_1 < x_2$ ) :

\begin{array}{|c|ccccccc|} \hline x & -\infty & & x_1 & & x_2 & & +\infty \\ \hline f(x) & & \text{signe de } a & 0 & \text{signe de } -a & 0 & \text{signe de } a & \\ \hline \end{array}

Cas $\Delta = 0$ (racine double $x_0$ ) :

\begin{array}{|c|ccccc|} \hline x & -\infty & & x_0 & & +\infty \\ \hline f(x) & & \text{signe de } a & 0 & \text{signe de } a & \\ \hline \end{array}

Cas $\Delta < 0$ (aucune racine réelle) :

\begin{array}{|c|ccc|} \hline x & -\infty & & +\infty \\ \hline f(x) & & \text{signe de } a & \\ \hline \end{array}

EXERCICE

Exercice 4 : Signe d'un trinôme et inéquation

Soit le polynôme $P(x) = (1 – x)(3x – 2)$ .

Justifier que les racines de $P(x)$ sont $1$ et $\dfrac{2}{3}$ , et déterminer le signe de son coefficient dominant $a$ .
Dresser le tableau de signes de $P(x)$ sur $\mathbb{R}$ .
En déduire l’ensemble des solutions de l’inéquation : $(1 – x)(3x – 2) \ge 0$ .

# Tableau de Synthèse Bilan du Chapitre

PROPRIÉTÉ

Synthèse générale du second degré

\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline \text{\textbf{Discriminant}} & \text{\textbf{Équation }} f(x)=0 & \text{\textbf{Factorisation}} & \text{\textbf{Signe de }} f(x) & \text{\textbf{Position de }} \mathcal{C}_f \\ \hline \Delta < 0 & \text{Aucune racine} \ (\mathcal{S} = \emptyset) & \text{Pas de factorisation dans } \mathbb{R} & \text{Signe de } a \text{ sur } \mathbb{R} & \text{Ne coupe jamais l'axe } (Ox) \\ \hline \Delta = 0 & \text{Une racine double } x_0 = -\frac{b}{2a} & f(x) = a(x – x_0)^2 & \text{Signe de } a \ (\text{s'annule en } x_0) & \text{Tangente à l'axe } (Ox) \text{ en } x_0 \\ \hline \Delta > 0 & \text{Deux racines } x_1 < x_2 & f(x) = a(x – x_1)(x – x_2) & \text{Signe de } -a \text{ entre les racines} & \text{Coupe l'axe } (Ox) \text{ en } 2 \text{ points} \\ \hline \end{array}