Quelle méthode choisir pour résoudre un système en seconde ?

La substitution est pratique lorsqu’une inconnue est déjà isolée. L’élimination est souvent plus rapide lorsque les coefficients peuvent devenir opposés.

Comment vérifier la solution d’un système ?

On remplace x et y par les valeurs trouvées dans chacune des deux équations. Les deux égalités doivent être vraies.

Systèmes d’équations seconde | Exercices corrigés

Q: Un système a-t-il toujours une solution unique ?

Non. Deux équations incompatibles donnent aucune solution; deux équations équivalentes donnent une infinité de solutions.

Maths · Seconde · Systèmes

Résoudre un système sans perdre le fil des calculs.

Méthodes par substitution et par élimination, exemples détaillés et exercices corrigés pour les systèmes de deux équations à deux inconnues en seconde.

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Méthode

Substitution ou élimination : comment choisir ?

Substitution

À privilégier lorsqu’une équation donne déjà $𝑥 = \dots$ ou $𝑦 = \dots$ . On remplace cette inconnue dans l’autre équation.

Élimination

On additionne ou soustrait les équations après avoir rendu opposés les coefficients d’une inconnue.

Couple solution

La réponse s’écrit sous forme d’un couple $(𝑥; 𝑦)$ , dans l’ordre annoncé.

Vérification

On remplace le couple dans les deux équations. Une seule égalité vérifiée ne suffit pas.

Exemples guidés

Deux résolutions pas à pas.

Exemple 1 — substitution

Pour ${\begin{cases} 𝑥 = 2 𝑦 + 1 \\ 3 𝑥 - 𝑦 = 13 \end{cases}$ , on remplace x dans la deuxième équation : $3 (2 𝑦 + 1) - 𝑦 = 13$ puis $5 𝑦 = 10$ , donc $𝑦 = 2$ et $𝑥 = 5$ . La solution est $(5; 2)$ .

Exemple 2 — élimination

Pour ${\begin{cases} 2 𝑥 + 3 𝑦 = 7 \\ 4 𝑥 - 3 𝑦 = 5 \end{cases}$ , l’addition élimine y : $6 𝑥 = 12$ , donc $𝑥 = 2$ . La première équation donne $4 + 3 𝑦 = 7$ , donc $𝑦 = 1$ . La solution est $(2; 1)$ .

Exercices corrigés

Dix systèmes types de seconde.

Exercice 1 · élimination

Résoudre $𝑥 + 𝑦 = 7$ et $𝑥 - 𝑦 = 1$ .

Correction. En additionnant : $2 𝑥 = 8$ , donc $𝑥 = 4$ . Puis $𝑦 = 3$ . Solution : $(4; 3)$ .

Exercice 2 · substitution

Résoudre $2 𝑥 + 𝑦 = 8$ et $𝑥 - 𝑦 = 1$ .

Correction. La deuxième équation donne $𝑦 = 𝑥 - 1$ . Alors $3 𝑥 - 1 = 8$ , donc $𝑥 = 3$ et $𝑦 = 2$ . Solution : $(3; 2)$ .

Exercice 3 · soustraction

Résoudre $3 𝑥 + 2 𝑦 = 12$ et $𝑥 + 𝑦 = 5$ .

Correction. On double la seconde : $2 𝑥 + 2 𝑦 = 10$ . La soustraction donne $𝑥 = 2$ , puis $𝑦 = 3$ . Solution : $(2; 3)$ .

Exercice 4 · inconnue isolée

Résoudre $𝑥 = 2 𝑦 + 1$ et $3 𝑥 - 𝑦 = 13$ .

Correction. $3 (2 𝑦 + 1) - 𝑦 = 13$ , donc $5 𝑦 = 10$ . Ainsi $𝑦 = 2$ et $𝑥 = 5$ . Solution : $(5; 2)$ .

Exercice 5 · coefficients opposés

Résoudre $2 𝑥 + 3 𝑦 = 7$ et $4 𝑥 - 3 𝑦 = 5$ .

Correction. L’addition donne $6 𝑥 = 12$ , donc $𝑥 = 2$ , puis $𝑦 = 1$ . Solution : $(2; 1)$ .

Exercice 6 · fraction

Résoudre $\frac{𝑥}{2} + 𝑦 = 5$ et $𝑥 - 𝑦 = 1$ .

Correction. $𝑦 = 𝑥 - 1$ . Donc $\frac{𝑥}{2} + 𝑥 - 1 = 5$ , soit $3 \frac{𝑥}{2} = 6$ . Ainsi $𝑥 = 4$ et $𝑦 = 3$ . Solution : $(4; 3)$ .

Exercice 7 · aucune solution

Résoudre $𝑥 + 𝑦 = 3$ et $2 𝑥 + 2 𝑦 = 8$ .

Correction. En doublant la première, on obtient $2 𝑥 + 2 𝑦 = 6$ , incompatible avec $2 𝑥 + 2 𝑦 = 8$ . Le système n’a aucune solution.

Exercice 8 · infinité de solutions

Résoudre $𝑥 - 𝑦 = 2$ et $3 𝑥 - 3 𝑦 = 6$ .

Correction. La seconde équation est trois fois la première. Elles décrivent la même droite : il existe une infinité de solutions.

Exercice 9 · problème

18 billets coûtent 184 €. Un billet adulte vaut 12 € et un billet jeune 8 €. Combien de chaque ?

Correction. Avec x adultes et y jeunes : $𝑥 + 𝑦 = 18$ et $12 𝑥 + 8 𝑦 = 184$ . En remplaçant y par $18 - 𝑥$ : $4 𝑥 = 40$ . Donc 10 adultes et 8 jeunes.

Exercice 10 · vérification

Le couple (2 ; 1) résout-il $3 𝑥 - 𝑦 = 5$ et $𝑥 + 2 𝑦 = 4$ ?

Correction. $3 \times 2 - 1 = 5$ et $2 + 2 \times 1 = 4$ . Les deux égalités sont vraies : (2 ; 1) est solution.

Erreurs fréquentes

Les vérifications qui évitent les erreurs.

Distribuer le signe moins à tous les termes lors d’une soustraction d’équations.
Multiplier les deux membres d’une équation, pas seulement un terme.
Respecter l’ordre du couple (x ; y).
Remplacer les deux inconnues dans les deux équations à la fin.
Reconnaître une contradiction ou deux équations équivalentes au lieu de forcer une solution unique.

Continuer le parcours

Ressources utiles avant et après ce chapitre.

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FAQ

Questions fréquentes.

Quelle méthode choisir ?

La substitution est pratique lorsqu’une inconnue est isolée. L’élimination est souvent plus rapide lorsque les coefficients peuvent devenir opposés.

Comment vérifier la solution ?

On remplace x et y dans chacune des deux équations. Les deux égalités doivent être vraies.

Un système a-t-il toujours une solution unique ?

Non. Il peut n’avoir aucune solution ou avoir une infinité de solutions.

Ces exercices sont-ils officiels ?

Non. Ce sont des exercices originaux CoursMission conçus pour réviser le programme français de seconde.

Besoin d’aide ?

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