Comment résoudre une équation du second degré en première ?

On met l’équation sous la forme ax²+bx+c=0, on calcule le discriminant Δ=b²−4ac, puis on applique le cas Δ positif, nul ou négatif.

Quelle erreur éviter avec le discriminant ?

Il faut identifier correctement a, b et c, conserver les signes, puis vérifier les racines dans l’équation de départ.

Pourquoi travailler le signe du trinôme ?

Le signe du trinôme est utilisé pour résoudre des inéquations, étudier des fonctions et préparer la dérivation en première spécialité.

Équations second degré première

Q: Quand demander un diagnostic CoursMission ?

Quand l’élève connaît la formule mais bloque dans les exercices mélangés, les factorisations ou les tableaux de signes.

Maths · Première spécialité · Second degré

Équations du second degré en première : discriminant, racines et exercices corrigés.

Cette ressource CoursMission aide les élèves du programme français à revoir les équations du second degré avec une méthode claire : reconnaître un trinôme, calculer le discriminant, trouver les racines puis vérifier le résultat. Les exemples sont originaux et corrigés étape par étape.

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Objectif du chapitre

Ce qu’il faut savoir faire avec un trinôme du second degré.

Identifier a, b et c

Une équation du second degré se ramène à $𝑎 𝑥^{2} + 𝑏 𝑥 + 𝑐 = 0$ , avec $𝑎 \neq 0$ . La première erreur à éviter est de perdre un signe en recopiant les coefficients.

Calculer le discriminant

Le discriminant est $Δ = 𝑏^{2} - 4 𝑎 𝑐$ . Son signe indique le nombre de solutions réelles : deux, une ou aucune.

Vérifier les racines

Une racine trouvée doit vérifier l’équation de départ. Une substitution rapide évite beaucoup d’erreurs de calcul.

Rappels de cours

Formules essentielles sur le second degré.

Discriminant positif

Si $Δ > 0$ , l’équation admet deux solutions : $𝑥_{1} = \frac{- 𝑏 - \sqrt{Δ}}{2 𝑎}$ et $𝑥_{2} = \frac{- 𝑏 + \sqrt{Δ}}{2 𝑎}$ .

Discriminant nul

Si $Δ = 0$ , il y a une racine double : $𝑥_{0} = - \frac{𝑏}{2 𝑎}$ . Le trinôme peut s’écrire sous forme d’un carré.

Factorisation et signe

Quand deux racines existent, $𝑎 𝑥^{2} + 𝑏 𝑥 + 𝑐 = 𝑎 (𝑥 - 𝑥_{1}) (𝑥 - 𝑥_{2})$ . Le signe du trinôme dépend ensuite du signe de $𝑎$ .

Exercices corrigés

Trois exercices types sur les équations du second degré.

Exercice 1 · discriminant positif

Résoudre $2 𝑥^{2} - 5 𝑥 - 3 = 0$ .

Correction. Ici $𝑎 = 2$ , $𝑏 = - 5$ et $𝑐 = - 3$ . On calcule $Δ = 𝑏^{2} - 4 𝑎 𝑐$ =(−5)²− $4 \times 2 \times (- 3) = 25 + 24 = 49$ . Comme $Δ > 0$ , il y a deux solutions : $𝑥_{1} = \frac{5 - 7}{4} = - \frac{1}{2}$ et $𝑥_{2} = \frac{5 + 7}{4} = 3$ . Vérification : $2 \times 3^{2} - 5 \times 3 - 3 = 18 - 15 - 3 = 0$ .

Exercice 2 · racine double

Résoudre $𝑥^{2} - 6 𝑥 + 9 = 0$ .

Correction. On a $𝑎 = 1$ , $𝑏 = - 6$ , $𝑐 = 9$ . Le discriminant vaut Δ=(−6)²− $4 \times 1 \times 9 = 36 - 36 = 0$ . Il y a une racine double : $𝑥_{0} = - \frac{𝑏}{2 𝑎} = \frac{6}{2} = 3$ . On peut aussi reconnaître $𝑥^{2} - 6 𝑥 + 9$ =( $𝑥 - 3$ )².

Exercice 3 · factoriser puis étudier le signe

Factoriser $𝑥^{2} - 𝑥 - 6$ puis donner son signe.

Correction. Δ=(−1)²− $4 \times 1 \times (- 6) = 1 + 24 = 25$ . Les racines sont $𝑥_{1} = \frac{1 - 5}{2} = - 2$ et $𝑥_{2} = \frac{1 + 5}{2} = 3$ . Donc $𝑥^{2} - 𝑥 - 6 = (𝑥 + 2)$ ( $𝑥 - 3$ ). Comme $𝑎 = 1$ est positif, le trinôme est positif à l’extérieur des racines et négatif entre elles : positif sur ]−∞;−2]∪[3;+∞[, négatif sur [−2;3].

Méthode

Erreurs fréquentes à éviter en contrôle.

Oublier que $𝑏^{2}$ est toujours positif, même lorsque $𝑏$ est négatif.
Se tromper dans $- 4 𝑎 𝑐$ lorsque $𝑐$ est négatif : le produit peut devenir positif.
Écrire les solutions sans diviser par 2a.
Confondre résoudre $𝑎 𝑥^{2} + 𝑏 𝑥 + 𝑐 = 0$ et étudier le signe de $𝑎 𝑥^{2} + 𝑏 𝑥 + 𝑐$ .
Ne pas vérifier une racine simple dans l’équation initiale.

Continuer le parcours

Liens utiles pour progresser en première spécialité.

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FAQ

Questions fréquentes sur les équations du second degré.

Comment savoir s’il faut utiliser le discriminant ?

On utilise le discriminant lorsqu’une équation peut s’écrire sous la forme ax²+bx+ $𝑐 = 0$ avec a différent de 0. Si une factorisation évidente existe, elle peut aussi être utilisée.

Que signifie

Δ < 0

Dans le programme de première, cela signifie que l’équation n’a pas de solution réelle. Le trinôme garde alors le signe de a.

Pourquoi vérifier les solutions ?

La vérification permet de repérer une erreur de signe ou de division par 2a. Elle est rapide et rassure avant de rédiger la conclusion.

Quand demander un diagnostic CoursMission ?

Quand l’élève connaît la formule mais bloque dès que l’exercice mélange racines, factorisation, signe du trinôme ou problème contextualisé.

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