Fonctions de référence seconde | Exercices corrigés

Maths · Seconde · Fonctions

Reconnaître quatre fonctions, puis choisir le bon réflexe.

Un cours synthétique et huit exercices corrigés sur les fonctions carré, cube, inverse et racine carrée : domaine, images, signes et variations.

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À retenir

Les quatre fonctions de référence en un coup d’œil.

Fonction carré

$𝑓 (𝑥) = 𝑥^{2}$ Domaine : tous les réels. Valeurs positives ou nulles. Décroissante jusqu’à 0, puis croissante.

Fonction cube

$𝑔 (𝑥) = 𝑥^{3}$ Domaine : tous les réels. Elle conserve le signe de x et elle est croissante.

Fonction inverse

$ℎ (𝑥) = \frac{1}{𝑥}$ Domaine : tous les réels sauf 0. Elle conserve le signe de x et décroît sur chacun des intervalles où elle est définie.

Fonction racine carrée

$𝑟 (𝑥) = \sqrt{𝑥}$ Domaine : les réels positifs ou nuls. Elle est positive ou nulle et croissante.

Méthode

Domaine, image, antécédent : trois questions différentes.

Domaine : vérifier si la formule accepte la valeur. On refuse 0 pour l’inverse et les nombres négatifs pour la racine carrée.
Image : remplacer x par la valeur donnée, avec des parenthèses si elle est négative.
Antécédent : résoudre l’équation associée. Par exemple, $𝑥^{2} = 9$ donne deux antécédents : −3 et 3.
Variation : ne jamais écrire que la fonction carré est croissante sur tous les réels ; son sens change en 0.

Exemples guidés

Calculer sans confondre signe et parenthèses.

Carré et cube d’un nombre négatif

Pour $𝑥 = - 2$ : ${(- 2)}^{2} = 4$ tandis que ${(- 2)}^{3} = - 8$ . Une puissance paire efface le signe ; une puissance impaire le conserve.

Inverse et racine carrée

$ℎ (- 4) = \frac{1}{- 4} = - \frac{1}{4}$ et $𝑟 (25) = \sqrt{25} = 5$ . En revanche, h(0) et r(−9) ne sont pas définies dans les réels.

Exercices corrigés

Huit exercices progressifs de seconde.

Exercice 1 · images

Calculer f(−3), g(−3), h(−3) et r(9).

Correction. $𝑓 (- 3) = 9$ ; $𝑔 (- 3) = - 27$ ; $ℎ (- 3) = - \frac{1}{3}$ ; $𝑟 (9) = 3$ .

Exercice 2 · domaine

Parmi −4, 0 et 4, quelles valeurs peut-on utiliser avec $ℎ (𝑥) = \frac{1}{𝑥}$ et $𝑟 (𝑥) = \sqrt{𝑥}$ ?

Correction. Pour h, −4 et 4 conviennent, mais 0 est exclu. Pour r, 0 et 4 conviennent ; −4 est exclu dans les réels.

Exercice 3 · antécédents

Résoudre $𝑥^{2} = 16$ puis $𝑥^{3} = - 8$ .

Correction. $𝑥^{2} = 16$ donne $𝑥 = - 4$ ou $𝑥 = 4$ . $𝑥^{3} = - 8$ donne l’unique solution $𝑥 = - 2$ .

Exercice 4 · comparaison

Comparer (−5)² et (−2)², puis (−5)³ et (−2)³.

Correction. $25 > 4$ , donc (−5)²>(−2)². Mais $- 125 \leftarrow 8$ , donc (−5)³<(−2)³.

Exercice 5 · variations

Comparer f(−4) et f(−1) sans tout recalculer.

Correction. La fonction carré est décroissante sur l’intervalle des nombres négatifs jusqu’à 0. Comme $- 4 \leftarrow 1$ , on obtient $𝑓 (- 4) > 𝑓 (- 1)$ . En effet, $16 > 1$ .

Exercice 6 · inverse

Résoudre $\frac{1}{𝑥} = - \frac{1}{5}$ .

Correction. x est non nul. L’égalité donne $𝑥 = - 5$ ; la vérification $\frac{1}{- 5} = - \frac{1}{5}$ confirme la solution.

Exercice 7 · racine

Résoudre $\sqrt{𝑥} = 6$ dans les réels.

Correction. Le membre de droite est positif. En élevant au carré, $𝑥 = 36$ . La vérification $\sqrt{36} = 6$ confirme la solution.

Exercice 8 · expression

Soit $𝐴 (𝑥) = 𝑥^{2} - 4$ . Calculer A(−3), puis résoudre $𝐴 (𝑥) = 0$ .

Correction. $𝐴 (- 3) = 9 - 4 = 5$ . L’équation $𝑥^{2} - 4 = 0$ équivaut à $𝑥^{2} = 4$ , donc $𝑥 = - 2$ ou $𝑥 = 2$ .

Erreurs fréquentes

Quatre pièges à contrôler.

Écrire $- 3^{2} = 9$ sans parenthèses : en réalité, −3² signifie $- (3^{2}) = - 9$ , tandis que (−3)²=9.
Calculer $\frac{1}{0}$ : cette écriture n’est pas définie.
Accepter √(−4) parmi les réels.
Oublier les deux solutions de $𝑥^{2} = 𝑎$ lorsque a est strictement positif.

Continuer le parcours

Relier formules, graphes et variations.

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FAQ

Questions fréquentes.

Quelles sont les fonctions de référence étudiées en seconde ?

Cette ressource révise les fonctions carré, cube, inverse et racine carrée, avec leurs domaines, signes et variations utiles en seconde.

Pourquoi la fonction inverse n’est-elle pas définie en zéro ?

Parce que 1 divisé par 0 n’existe pas. Le domaine de la fonction inverse exclut donc zéro.

Comment distinguer image et antécédent ?

L’image de x se calcule en remplaçant x dans la formule. Chercher un antécédent consiste à résoudre une équation telle que $𝑓 (𝑥) = 𝑘$ .

Ces exercices proviennent-ils d’un sujet officiel ?

Non. Ce sont des exercices originaux CoursMission pour réviser le programme français de seconde.

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