Quelle est la différence entre nombre dérivé et fonction dérivée ?

Le nombre dérivé f'(a) est la valeur de la dérivée en un point a. La fonction dérivée f' associe à chaque x de l’intervalle la valeur du coefficient directeur local.

Comment écrire l’équation d’une tangente ?

Au point d’abscisse a, la tangente à la courbe de f a pour équation y=f'(a)(x-a)+f(a).

Quand demander un diagnostic CoursMission sur la dérivation ?

Quand l’élève connaît les formules mais bloque sur la tangente, le signe de la dérivée, les tableaux de variations ou la rédaction des corrigés.

Dérivation première | Exercices corrigés

Q: Comment utiliser la dérivée pour les variations ?

On étudie le signe de f'(x). Si f' est positive, f est croissante; si f' est négative, f est décroissante sur l’intervalle considéré.

Maths · Première spécialité · Dérivation

Dérivation en première : nombre dérivé, tangente, variations et exercices corrigés.

Cette ressource CoursMission aide les élèves du programme français à passer des formules de dérivation à une rédaction claire : calculer une dérivée, écrire une tangente, étudier un signe et conclure sur les variations.

Diagnostic dérivation sur WhatsApp
Appeler +212 719 342 233

Service indépendant : CoursMission accompagne les élèves du programme français sans relation officielle avec AEFE, CNED, Mission Française, MLF, OSUI ou un établissement scolaire.

Objectif du chapitre

Ce qu’il faut savoir faire en dérivation.

Calculer une fonction dérivée

Identifier la forme de la fonction, choisir la règle utile puis simplifier l’expression de f′(x) sans perdre le domaine de définition.

Interpréter f′(a)

Le nombre dérivé est le coefficient directeur de la tangente à la courbe au point d’abscisse $𝑎$ . Il relie calcul et lecture graphique.

Étudier des variations

Le signe de la dérivée donne le sens de variation de la fonction. La rédaction doit citer l’intervalle et conclure clairement.

Rappels de cours

Formules essentielles de dérivation en première.

Formules usuelles

Si $𝑓 (𝑥) = 𝑥^{𝑛}$ , alors $𝑓^{'} (𝑥) = 𝑛 \times 𝑥^{𝑛 - 1}$ . Une constante a une dérivée nulle, et la dérivée de $𝑎 𝑥 + 𝑏$ est $𝑎$ .

Somme et produit par une constante

La dérivée de $𝑢 + 𝑣$ est $𝑢' + 𝑣'$ . La dérivée de $𝑘 \times 𝑢$ est $𝑘 \times 𝑢'$ . Ces règles suffisent pour beaucoup de polynômes.

Tangente

Au point d’abscisse $𝑎$ , l’équation de la tangente est $𝑦 = 𝑓' (𝑎) (𝑥 - 𝑎) + 𝑓 (𝑎)$ . Il faut donc calculer deux valeurs : f(a) et f′(a).

Exercices corrigés

Quatre exercices types sur la dérivation.

Exercice 1 · calculer une dérivée

Soit $𝑓 (𝑥) = 3 𝑥^{2} - 4 𝑥 + 1$ . Calculer f′(x).

Correction. La dérivée de 3x² est 6x, la dérivée de −4x est −4 et la dérivée de 1 est 0. Donc $𝑓' (𝑥) = 6 𝑥 - 4$ . On peut ensuite utiliser cette expression pour calculer un coefficient directeur local.

Exercice 2 · équation de tangente

Pour $𝑓 (𝑥) = 3 𝑥^{2} - 4 𝑥 + 1$ , écrire la tangente à la courbe au point d’abscisse 2.

Correction. On a $𝑓' (𝑥) = 6 𝑥 - 4$ , donc $𝑓' (2) = 8$ . On calcule aussi $𝑓 (2) = 3 \times 4 - 8 + 1 = 5$ . La tangente a pour équation $𝑦 = 8 (𝑥 - 2) + 5$ , soit $𝑦 = 8 𝑥 - 11$ .

Exercice 3 · variations

Étudier les variations de $𝑔 (𝑥) = 𝑥^{3} - 3 𝑥$ sur l’intervalle [−2;2].

Correction. On calcule $𝑔' (𝑥) = 3 𝑥^{2} - 3 = 3 (𝑥 - 1) (𝑥 + 1)$ . La dérivée est positive sur [−2;−1], négative sur [−1;1], puis positive sur [1;2]. Donc g est croissante sur [−2;−1], décroissante sur [−1;1], puis croissante sur [1;2].

Exercice 4 · quotient simple

Soit $ℎ (𝑥) = \frac{1}{𝑥}$ pour $𝑥 \neq 0$ . Calculer h′(x) et h′(2).

Correction. On utilise la formule usuelle $(\frac{1}{𝑥})' = - \frac{1}{𝑥^{2}}$ . Donc $ℎ' (𝑥) = - \frac{1}{𝑥^{2}}$ . En particulier, $ℎ' (2) = - \frac{1}{4}$ . Le coefficient directeur de la tangente en $𝑥 = 2$ est donc négatif.

Méthode

Erreurs fréquentes à éviter en dérivation.

Confondre f′(x), qui est une fonction, et f′(a), qui est un nombre.
Écrire une tangente sans calculer f(a).
Utiliser le signe de f(x) au lieu du signe de f′(x) pour les variations.
Oublier l’intervalle étudié dans un tableau de variations.
Dire “la fonction monte” sans phrase mathématique précise : préférer “f est croissante sur …”.

Continuer le parcours

Liens utiles pour progresser en première spécialité.

Maths programme français
Exercices corrigés maths
Première spécialité maths
Second degré première
Suites numériques première
Cours de maths Mission Française
Diagnostic et tarifs

FAQ

Questions fréquentes sur la dérivation en première.

À quoi sert le nombre dérivé ?

Le nombre dérivé f′(a) donne le coefficient directeur de la tangente à la courbe de f au point d’abscisse a. Il mesure localement la pente de la courbe.

Comment trouver l’équation d’une tangente ?

On calcule f′(a) et f(a), puis on remplace dans la formule $𝑦 = 𝑓' (𝑎)$ $(𝑥 - 𝑎) + 𝑓 (𝑎)$ . Une erreur fréquente est d’oublier la valeur f(a).

Comment utiliser la dérivée pour les variations ?

On étudie le signe de f′(x) sur l’intervalle demandé. Si f′ est positive, f est croissante; si f′ est négative, f est décroissante.

Quand demander un diagnostic CoursMission ?

Quand l’élève connaît les règles mais bloque sur les tangentes, les signes, les tableaux de variations ou la rédaction des exercices corrigés.

Besoin d’aide ?

Faire le point sur la dérivation avec un professeur.

Envoyez le niveau, le chapitre et une photo de l’exercice qui bloque. CoursMission répond avec une première orientation et propose un accompagnement si un suivi est utile.

Envoyer un exercice sur WhatsApp
Appeler +212 719 342 233

Ressource associée

Probabilités en première.

Exercices corrigés sur les événements, arbres pondérés et probabilités conditionnelles.

Voir les exercices de probabilités première