Tableaux de signes seconde exercices corrigés

Q: À quoi sert un tableau de signes ?

Il sert à déterminer sur quels intervalles une expression est positive, négative ou nulle, notamment pour résoudre une inéquation.

Q: Quelle différence entre racine et valeur interdite ?

Une racine annule l’expression ou un facteur. Une valeur interdite annule le dénominateur : elle ne peut jamais appartenir à la solution.

Q: Faut-il inclure les zéros dans la solution ?

Oui pour une inégalité avec ≤ ou ≥, sauf si la valeur est interdite. Non pour une inégalité stricte .

Maths · Seconde · Tableaux de signes

Tableaux de signes en seconde : méthode complète et exercices corrigés.

Cette page CoursMission explique comment construire un tableau de signes pour un facteur, un produit ou un quotient, puis résoudre une inéquation simple du programme français de seconde.

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À retenir

Un tableau de signes sert à savoir où une expression est positive ou négative.

En seconde, on l’utilise surtout pour résoudre des inéquations comme $(𝑥 - 2) (𝑥 + 3) \geq 0$ ou $\frac{2 𝑥 - 1}{𝑥 + 4} < 0$ . L’idée est de découper la droite réelle avec les valeurs qui annulent ou interdisent l’expression, puis de déterminer le signe dans chaque intervalle.

Méthode

Construire un tableau de signes en 4 étapes.

1. Factoriser si possible

On transforme l’expression en produit ou quotient de facteurs simples : $𝑥 - 2$ , $𝑥 + 3$ , $2 𝑥 - 1$ …

2. Chercher les valeurs clés

Pour chaque facteur, on résout $facteur = 0$ . Pour un quotient, on note aussi les valeurs interdites du dénominateur.

3. Ranger les valeurs

On place les valeurs clés dans l’ordre croissant sur la première ligne du tableau.

4. Multiplier les signes

Le signe du produit ou du quotient vient de la règle : deux signes identiques donnent $+$ , deux signes différents donnent $-$ .

Règles utiles

Signe d’un facteur affine.

Pour un facteur affine $𝑎 𝑥 + 𝑏$ , la valeur qui annule le facteur est :

$𝑎 𝑥 + 𝑏 = 0 ⟺ 𝑥 = - \frac{𝑏}{𝑎}$

Si le coefficient directeur $𝑎$ est positif, le facteur est négatif avant sa racine puis positif après. Si $𝑎$ est négatif, c’est l’inverse.

Exercices corrigés

Huit exercices progressifs.

Exercice 1 · facteur simple

Déterminer le signe de $𝑥 - 5$ .

Correction. Le facteur s’annule pour $𝑥 = 5$ . Comme le coefficient de x est positif, $𝑥 - 5 < 0$ si $𝑥 < 5$ , $𝑥 - 5 = 0$ si $𝑥 = 5$ , et $𝑥 - 5 > 0$ si $𝑥 > 5$ .

Exercice 2 · coefficient négatif

Déterminer le signe de $- 2 𝑥 + 6$ .

Correction. On résout $- 2 𝑥 + 6 = 0$ , donc $𝑥 = 3$ . Comme le coefficient de x est négatif, le signe est $+$ avant 3 puis $-$ après 3.

Exercice 3 · produit

Résoudre ( $𝑥 - 2$ ) $(𝑥 + 3) \geq 0$ .

Correction. Les valeurs clés sont $- 3$ et 2. Le produit est positif quand les deux facteurs ont le même signe : sur $] - \infty; - 3]$ et sur $[2; + \infty [$ . Solution : $] - \infty; - 3] \cup [2; + \infty [$ .

Exercice 4 · produit négatif

Résoudre ( $𝑥 - 4$ ) $(𝑥 + 1) < 0$ .

Correction. Les racines sont $- 1$ et 4. Entre les deux racines, les facteurs sont de signes contraires, donc le produit est négatif. Solution : $] - 1; 4 [$ .

Exercice 5 · quotient

Résoudre $\frac{𝑥 - 1}{𝑥 + 2} > 0$ .

Correction. Le numérateur s’annule en 1. Le dénominateur s’annule en $- 2$ , donc $𝑥 = - 2$ est interdit. Le quotient est positif sur $] - \infty; - 2 [$ et $] 1; + \infty [$ . Comme l’inégalité est stricte, 1 n’est pas inclus.

Exercice 6 · quotient négatif ou nul

Résoudre $\frac{2 𝑥 - 6}{𝑥 - 5} \leq 0$ .

Correction. Le numérateur s’annule pour $𝑥 = 3$ . Le dénominateur s’annule pour $𝑥 = 5$ , valeur interdite. Le quotient est négatif entre 3 et 5, et il vaut 0 en 3. Solution : [3;5[.

Exercice 7 · facteur commun

Résoudre $𝑥 (𝑥 - 7) \geq 0$ .

Correction. Les valeurs clés sont 0 et 7. Le produit est positif avant 0 et après 7. Solution : $] - \infty; 0] \cup [7; + \infty [$ .

Exercice 8 · piège de domaine

Pourquoi $𝑥 = 4$ est-il interdit dans $\frac{𝑥 + 1}{𝑥 - 4}$ ?

Correction. À $𝑥 = 4$ , le dénominateur vaut 0. Une division par zéro est impossible : la valeur est donc interdite et doit être marquée par une double barre dans le tableau.

Modèle

Exemple de lecture pour ( $𝑥 - 2$ )( $𝑥 + 3$ ).

Intervalle	]−∞;−3[	−3	]−3;2[	2	]2;+∞[
$𝑥 + 3$	−	0	+	+	+
$𝑥 - 2$	−	−	−	0	+
Produit	+	0	−	0	+

Pour $(𝑥 - 2) (𝑥 + 3) \geq 0$ , on garde les colonnes où le produit est positif ou nul.

Erreurs fréquentes

Les pièges à éviter.

Oublier de ranger les valeurs dans l’ordre croissant.
Inclure une valeur interdite du dénominateur dans la solution.
Confondre inégalité stricte $<$ avec inégalité large $\leq$ .
Changer le signe d’un facteur affine sans regarder le coefficient de x.
Écrire seulement le tableau sans conclure par un intervalle solution.

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Liens utiles pour progresser en seconde.

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FAQ

Questions fréquentes.

À quoi sert un tableau de signes ?

Il sert à déterminer sur quels intervalles une expression est positive, négative ou nulle, notamment pour résoudre une inéquation.

Quelle différence entre racine et valeur interdite ?

Une racine annule l’expression ou un facteur. Une valeur interdite annule le dénominateur : elle ne peut jamais appartenir à la solution.

Faut-il inclure les zéros dans la solution ?

Oui pour une inégalité avec ≤ ou ≥, sauf si la valeur est interdite. Non pour une inégalité stricte < ou >.

Ces exercices sont-ils officiels ?

Non. Ce sont des exercices originaux CoursMission conçus pour travailler les méthodes du programme français.

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