Bac blanc maths terminale sujet corrigé

Une classe prépare un contrôle. 60 % des élèves ont fait une fiche de révision. Parmi eux, 80 % réussissent l’exercice. Parmi les autres, 45 % réussissent l’exercice.

On choisit un élève au hasard. Calculer la probabilité qu’il réussisse l’exercice, puis la probabilité qu’il ait fait une fiche sachant qu’il a réussi.

On considère la fonction f définie sur [0 ; +∞[ par $𝑓\left(𝑥\right)=𝑥$ e^−x.

Étudier le sens de variation de f, puis déterminer sa limite lorsque x tend vers +∞.

Calculer l’intégrale I = ∫₀¹ ($2𝑥+1$) dx et interpréter le résultat comme une aire.

Donner une primitive, calculer la valeur exacte, puis préciser pourquoi l’aire est positive.

La droite d a pour représentation $𝑥=1+2𝑡$, $𝑦=-𝑡$, $𝑧=2+𝑡$. Le plan P a pour équation $𝑥+𝑦+𝑧=5$.

Déterminer si d coupe P et, si oui, donner le point d’intersection.

Probabilités conditionnelles.

Notons F : « l’élève a fait une fiche » et R : « l’élève réussit ». On a $𝑃\left(𝐹\right)=0,60$, $𝑃\left(𝑅|𝐹\right)=0,80$ et $𝑃\left(𝑅|\text{non F}\right)=0,45$.

Donc $𝑃\left(𝑅\right)=0,60\times 0,80+0,40\times 0,45=0,48+0,18=0,66$. La probabilité de réussite est 0,66.

Par la formule de Bayes : $𝑃\left(𝐹|𝑅\right)=\frac{𝑃\left(𝐹\cap 𝑅\right)}{𝑃\left(𝑅\right)}=0,\frac{48}{0},66=\frac{8}{11}$, soit environ 0,727.

Variations et limite de x e^−x.

La dérivée est ${𝑓}^{\prime }\left(𝑥\right)={𝑒}^{-𝑥}+𝑥\left(-{𝑒}^{-𝑥}\right)={𝑒}^{-𝑥}\left(1-𝑥\right)$.

Comme ${𝑒}^{-𝑥}>0$, le signe de f'(x) est celui de $1-𝑥$. La fonction est croissante sur [0;1] puis décroissante sur $[1;+\infty [$.

Lorsque $𝑥$ tend vers $+\infty$, $\frac{𝑥}{{𝑒}^{𝑥}}$ tend vers 0. Donc $𝑥{𝑒}^{-𝑥}$ tend vers 0.

Calcul d’intégrale.

Une primitive de $2𝑥+1$ est ${𝑥}^2+𝑥$. Ainsi $𝐼={\left[{𝑥}^2+𝑥\right]}_0^1=\left(1^2+1\right)-0=2$.

Sur [0;1], la fonction $2𝑥+1$ est positive. L’intégrale représente donc l’aire sous la courbe, en unités d’aire, et vaut 2.

Intersection droite-plan.

On remplace les coordonnées de la droite dans l’équation du plan : $\left(1+2𝑡\right)+\left(-𝑡\right)+\left(2+𝑡\right)=5$.

On obtient $3+2𝑡=5$, donc $𝑡=1$. Le point d’intersection est donc $\left(3;-1;3\right)$.