Que faut-il savoir en géométrie dans l’espace en terminale ?

Il faut savoir manipuler les coordonnées de points et de vecteurs, écrire une représentation paramétrique de droite, reconnaître un plan et résoudre des intersections.

Comment trouver une représentation paramétrique de droite ?

On choisit un point de la droite et un vecteur directeur. Les coordonnées s’écrivent alors sous la forme x=xA+ta, y=yA+tb, z=zA+tc.

Comment vérifier qu’un point appartient à un plan ?

On remplace ses coordonnées dans l’équation du plan. Si l’égalité est vraie, le point appartient au plan ; sinon il n’y appartient pas.

Quand demander un diagnostic CoursMission sur la géométrie dans l’espace ?

Quand l’élève bloque sur le choix d’un vecteur directeur, l’équation d’un plan, une intersection ou la rédaction rigoureuse d’un raisonnement en coordonnées.

Géométrie dans l’espace terminale

Maths · Terminale spécialité · Géométrie dans l’espace

Géométrie dans l’espace en terminale : vecteurs, droites et plans corrigés.

Cette ressource CoursMission aide les élèves du programme français à revoir les méthodes de coordonnées dans l’espace avec des rappels courts et des exercices corrigés.

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Objectif du chapitre

Ce qu’il faut maîtriser en géométrie dans l’espace.

Travailler avec les coordonnées

À partir de deux points $𝐴 (𝑥_{𝐴}; 𝑦_{𝐴}; 𝑧_{𝐴})$ et $𝐵 (𝑥_{𝐵}; 𝑦_{𝐵}; 𝑧_{𝐵})$ , le vecteur $𝐴 𝐵$ a pour coordonnées $(𝑥_{𝐵} - 𝑥_{𝐴}; 𝑦_{𝐵} - 𝑦_{𝐴}; 𝑧_{𝐵} - 𝑧_{𝐴})$ .

Décrire une droite

Une droite est déterminée par un point et un vecteur directeur. On écrit souvent $(𝑥; 𝑦; 𝑧) = (𝑥_{𝐴}; 𝑦_{𝐴}; 𝑧_{𝐴}) + 𝑡 (𝑎; 𝑏; 𝑐)$ .

Relier droite et plan

Pour une intersection droite-plan, on remplace les coordonnées paramétriques de la droite dans l’équation du plan puis on résout l’équation obtenue.

Rappels de méthode

Formules et réflexes essentiels.

Vecteur directeur

Si $𝐴 (1; 0; 2)$ et $𝐵 (3; - 1; 4)$ , alors $𝐴 𝐵 = (2; - 1; 2)$ . Ce vecteur peut diriger la droite (AB).

Droite paramétrée

Avec un point $𝐴$ et un vecteur directeur $𝑢 (𝑎; 𝑏; 𝑐)$ , une écriture est $𝑥 = 𝑥_{𝐴} + 𝑡 𝑎, 𝑦 = 𝑦_{𝐴} + 𝑡 𝑏, 𝑧 = 𝑧_{𝐴} + 𝑡 𝑐$ , où $𝑡$ est réel.

Plan et vecteur normal

Si $𝑛 (𝑎; 𝑏; 𝑐)$ est normal à un plan passant par $𝐴 (𝑥_{𝐴}; 𝑦_{𝐴}; 𝑧_{𝐴})$ , alors $𝑎 (𝑥 - 𝑥_{𝐴}) + 𝑏 (𝑦 - 𝑦_{𝐴}) + 𝑐 (𝑧 - 𝑧_{𝐴}) = 0$ .

Exercices corrigés

Quatre exercices types de géométrie dans l’espace.

Exercice 1 · vecteur

Soient A(1;0;2) et B(3;−1;4). Donner un vecteur directeur de la droite (AB).

Correction. On calcule $𝐴 𝐵 = (3 - 1; - 1 - 0; 4 - 2) = (2; - 1; 2)$ . Un vecteur directeur de (AB) est donc $𝑢 (2; - 1; 2)$ .

Exercice 2 · droite paramétrée

Écrire une représentation paramétrique de la droite passant par A(1;0;2) et dirigée par u(2;−1;2).

Correction. Une représentation possible est $𝑥 = 1 + 2 𝑡, 𝑦 = - 𝑡, 𝑧 = 2 + 2 𝑡$ avec t réel. On vérifie que pour $𝑡 = 0$ , on retrouve bien le point $𝐴$ .

Exercice 3 · équation de plan

Le plan P passe par A(1;0;2) et admet n(1;2;−1) comme vecteur normal. Donner une équation de P.

Correction. On écrit $1 (𝑥 - 1) + 2 (𝑦 - 0) - 1 (𝑧 - 2) = 0$ . Après simplification : $𝑥 + 2 𝑦 - 𝑧 + 1 = 0$ .

Exercice 4 · intersection

La droite d est donnée par $𝑥 = 1 + 2 𝑡$ , $𝑦 = - 𝑡$ , $𝑧 = 2 + 2 𝑡$ . Trouver son intersection avec le plan Q : $𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 4$ .

Correction. On remplace dans l’équation du plan : $(1 + 2 𝑡) + (- 𝑡) + (2 + 2 𝑡) = 4$ , donc $3 + 3 𝑡 = 4$ et $𝑡 = \frac{1}{3}$ . Le point d’intersection est $(\frac{5}{3}; - \frac{1}{3}; \frac{8}{3})$ .

Méthode

Erreurs fréquentes à éviter.

Confondre coordonnées d’un point et coordonnées d’un vecteur.
Oublier que le paramètre $𝑡$ doit être le même dans les trois coordonnées d’une droite.
Utiliser un vecteur normal comme s’il était un vecteur directeur.
Remplacer seulement une coordonnée dans l’équation d’un plan au lieu de remplacer $𝑥$ , $𝑦$ et $𝑧$ .
Conclure trop vite à une intersection sans vérifier le point obtenu dans les deux objets géométriques.

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FAQ

Questions fréquentes sur la géométrie dans l’espace en terminale.

Comment savoir si un point appartient à une droite paramétrée ?

Il faut trouver une même valeur de $𝑡$ qui vérifie les trois équations de la droite. Si une coordonnée impose une valeur différente, le point n’appartient pas à la droite.

Quelle est la différence entre vecteur directeur et vecteur normal ?

Un vecteur directeur donne la direction d’une droite. Un vecteur normal est perpendiculaire à un plan et permet d’écrire une équation cartésienne de ce plan.

Comment réussir une intersection droite-plan ?

On remplace les coordonnées paramétriques de la droite dans l’équation du plan, on résout l’équation en $𝑡$ , puis on calcule les coordonnées du point.

Quand demander un diagnostic CoursMission ?

Quand l’élève bloque sur les vecteurs de l’espace, les droites paramétrées, les plans ou la rédaction complète d’une correction.

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