Quelles formules connaître sur l’exponentielle en terminale ?

Il faut connaître e^0=1, e^x>0, (e^x)'=e^x, e^(a+b)=e^a e^b, et la domination de l’exponentielle sur les puissances à l’infini.

Comment résoudre e^x=a ?

Si a est strictement positif, l’équation e^x=a admet la solution x=ln(a). Si a est négatif ou nul, il n’y a pas de solution réelle.

Pourquoi l’exponentielle est-elle toujours positive ?

Pour tout réel x, e^x est strictement positif. Cette propriété est essentielle pour résoudre les inéquations et étudier le signe d’expressions avec exponentielle.

Quand demander un diagnostic CoursMission sur l’exponentielle ?

Quand l’élève bloque sur les dérivées, variations, équations, limites ou comparaisons de croissance impliquant e^x.

Exponentielle terminale | Exercices corrigés

Maths · Terminale spécialité · Exponentielle

Exponentielle en terminale : dérivée, variations, équations et limites.

Cette ressource CoursMission aide les élèves du programme français à travailler la fonction exponentielle avec des rappels de cours, des méthodes et des exercices corrigés.

Diagnostic exponentielle sur WhatsApp
Appeler +212 719 342 233

Service indépendant : CoursMission accompagne les élèves du programme français sans relation officielle avec AEFE, CNED, Mission Française, MLF, OSUI ou un établissement scolaire.

Objectif du chapitre

Ce qu’il faut maîtriser sur la fonction exponentielle.

Connaître les propriétés

Pour tout réel $𝑥$ , $𝑒^{𝑥} > 0$ , $𝑒^{0} = 1$ , $𝑒^{𝑎 + 𝑏} = 𝑒^{𝑎} \times 𝑒^{𝑏}$ et $𝑒^{- 𝑎} = \frac{1}{𝑒^{𝑎}}$ .

Dériver et étudier les variations

La dérivée de $𝑒^{𝑥}$ est $𝑒^{𝑥}$ . Pour une fonction composée simple, on utilise par exemple ${(𝑒^{𝑢 (𝑥)})}^{'} = 𝑢^{'} (𝑥) 𝑒^{𝑢 (𝑥)}$ .

Résoudre et interpréter

Les équations $𝑒^{𝑥} = 𝑎$ , les inéquations et les limites demandent une rédaction précise : domaine, positivité, croissance et conclusion.

Rappels de cours

Formules essentielles en terminale.

Dérivée

${(𝑒^{𝑥})}^{'} = 𝑒^{𝑥}$ . Plus généralement, si $𝑢$ est dérivable, ${(𝑒^{𝑢})}^{'} = 𝑢^{'} 𝑒^{𝑢}$ .

Équations

$𝑒^{𝑥} = 𝑎$ a une solution réelle seulement si $𝑎 > 0$ . Dans ce cas, $𝑥 = ln (𝑎)$ .

Limites

Quand $𝑥 \to + \infty$ , $𝑒^{𝑥} \to + \infty$ et $\frac{𝑒^{𝑥}}{𝑥^{𝑛}} \to + \infty$ pour tout entier positif $𝑛$ . Quand $𝑥 \to - \infty$ , $𝑒^{𝑥} \to 0$ .

Exercices corrigés

Quatre exercices types sur l’exponentielle.

Exercice 1 · dérivée

Dériver $𝑓 (𝑥) = 𝑒^{𝑥} - 3 𝑥 + 2$ .

Correction. La dérivée de $𝑒^{𝑥}$ est $𝑒^{𝑥}$ et la dérivée de $- 3 𝑥$ est $- 3$ . Donc $𝑓^{'} (𝑥) = 𝑒^{𝑥} - 3$ .

Exercice 2 · variations

Étudier les variations de $𝑓 (𝑥) = 𝑒^{𝑥} - 4 𝑥$ sur R.

Correction. On calcule $𝑓^{'} (𝑥) = 𝑒^{𝑥} - 4$ . Or $𝑒^{𝑥} - 4 = 0$ équivaut à $𝑥 = ln (4)$ . Comme $𝑒^{𝑥}$ est croissante, $𝑓^{'} (𝑥) < 0$ si $𝑥 < ln (4)$ et $𝑓^{'} (𝑥) > 0$ si $𝑥 > ln (4)$ . La fonction décroît puis croît.

Exercice 3 · équation

Résoudre $𝑒^{2 𝑥 - 1} = 5$ .

Correction. Comme $5 > 0$ , on prend le logarithme : $2 𝑥 - 1 = ln (5)$ . Donc $𝑥 = \frac{1 + ln (5)}{2}$ .

Exercice 4 · limite

Déterminer la limite de $\frac{𝑒^{𝑥}}{𝑥^{3}}$ quand x tend vers +∞.

Correction. En terminale, l’exponentielle domine toute puissance de $𝑥$ à l’infini. Donc $\frac{𝑒^{𝑥}}{𝑥^{3}} \to + \infty$ .

Méthode

Erreurs fréquentes à éviter.

Oublier que $𝑒^{𝑥}$ est toujours strictement positif.
Résoudre $𝑒^{𝑥} = 𝑎$ sans vérifier que $𝑎 > 0$ .
Confondre $𝑒^{𝑎 + 𝑏}$ avec $𝑒^{𝑎} + 𝑒^{𝑏}$ : la bonne formule est $𝑒^{𝑎 + 𝑏} = 𝑒^{𝑎} \times 𝑒^{𝑏}$ .
Oublier le facteur u'(x) dans la dérivée de $𝑒^{𝑢 (𝑥)}$ .
Écrire une limite sans phrase de conclusion sur la croissance comparée.

Continuer le parcours

Liens utiles pour progresser en terminale spécialité.

Maths programme français
Exercices corrigés maths
Annales bac maths corrigés
Terminale spécialité maths
Parcours terminale spécialité
Probabilités terminale
Limites terminale
Préparation bac programme français
Cours de maths Mission Française
Diagnostic et tarifs

FAQ

Questions fréquentes sur l’exponentielle en terminale.

Quelle est la dérivée de

𝑒^{𝑥}

La dérivée de $𝑒^{𝑥}$ est $𝑒^{𝑥}$ . Si l’exponentielle porte sur une fonction u(x), on utilise ${(𝑒^{𝑢})}^{'} = 𝑢^{'} 𝑒^{𝑢}$ .

Comment résoudre

𝑒^{𝑥} = 𝑎

On vérifie d’abord que $𝑎 > 0$ . Si c’est le cas, la solution est $𝑥 = ln (𝑎)$ . Sinon, il n’y a pas de solution réelle.

Pourquoi

\frac{𝑒^{𝑥}}{𝑥^{𝑛}}

tend vers +∞ ?

À l’infini, l’exponentielle croît plus vite que toute puissance de $𝑥$ . Cette comparaison est utilisée dans les limites de terminale.

Quand demander un diagnostic CoursMission ?

Quand l’élève bloque sur une dérivée composée, un tableau de variations, une équation avec logarithme ou une limite utilisant la croissance comparée.

Besoin d’aide ?

Faire le point sur l’exponentielle avec un professeur.

Envoyez le niveau, le chapitre et une photo de l’exercice qui bloque. CoursMission répond avec une première orientation et propose un accompagnement si un suivi est utile.

Envoyer un exercice sur WhatsApp
Appeler +212 719 342 233

Ressource associée

Intégrales en terminale.

Exercices corrigés sur les primitives, le calcul intégral, l’aire sous la courbe et la valeur moyenne.

Voir les exercices d’intégrales terminale

Ressource associée

Géométrie dans l’espace en terminale.

Exercices corrigés sur les vecteurs, droites, plans, représentations paramétriques et intersections.

Voir les exercices de géométrie dans l’espace

Bac blanc

Bac blanc maths terminale sujet corrigé.

Un sujet original corrigé pour réviser les chapitres clés de terminale spécialité.

Voir le bac blanc corrigé