Comment interpréter une intégrale en terminale ?

Lorsque la fonction est positive, l’intégrale correspond à une aire sous la courbe. Si la fonction change de signe, on raisonne avec les aires algébriques ou on découpe l’intervalle.

Quelles formules connaître sur les intégrales ?

Il faut connaître la linéarité, la relation avec les primitives, les intégrales usuelles et la formule de valeur moyenne lorsque le chapitre l’utilise.

Quand demander un diagnostic CoursMission sur les intégrales ?

Quand l’élève bloque sur le choix d’une primitive, le calcul de bornes, l’interprétation d’aire ou la rédaction d’une correction.

Intégrales terminale | Exercices corrigés

Q: Quelle est la différence entre primitive et intégrale ?

Une primitive F de f vérifie F'=f. L’intégrale de f entre a et b se calcule avec F(b)-F(a) lorsque f est continue sur l’intervalle.

Maths · Terminale spécialité · Intégrales

Intégrales en terminale : primitives, aires et calculs corrigés.

Cette ressource CoursMission aide les élèves du programme français à revoir les intégrales avec des rappels de cours, des méthodes et des exercices corrigés.

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Objectif du chapitre

Ce qu’il faut maîtriser sur les intégrales.

Relier primitive et intégrale

Si F est une primitive de $𝑓$ sur un intervalle, alors $\int_{𝑎}^{𝑏} 𝑓 (𝑥) 𝑑 𝑖 𝑓 𝑥 = 𝐹 (𝑏) - 𝐹 (𝑎)$ .

Calculer proprement

On choisit une primitive, on remplace les bornes dans le bon ordre, puis on simplifie. Les erreurs de signe sont fréquentes.

Interpréter le résultat

Pour une fonction positive, l’intégrale donne une aire sous la courbe. Sinon, il faut tenir compte des aires algébriques.

Rappels de cours

Formules essentielles en terminale.

Linéarité

$\int_{𝑎}^{𝑏} (𝛼 𝑓 (𝑥) + 𝛽 𝑔 (𝑥)) d 𝑥 = 𝛼 \int_{𝑎}^{𝑏} 𝑓 (𝑥) d 𝑥 + 𝛽 \int_{𝑎}^{𝑏} 𝑔 (𝑥) d 𝑥$ .

Primitives usuelles

Une primitive de $𝑥^{𝑛}$ est $\frac{𝑥^{𝑛 + 1}}{𝑛 + 1}$ pour $𝑛 \neq - 1$ . Une primitive de $𝑒^{𝑥}$ est $𝑒^{𝑥}$ .

Valeur moyenne

La valeur moyenne de $𝑓$ sur [a;b] est $(\frac{1}{𝑏 - 𝑎}) \int_{𝑎}^{𝑏} 𝑓 (𝑥) 𝑑 𝑖 𝑓 𝑥$ .

Exercices corrigés

Quatre exercices types sur les intégrales.

Exercice 1 · calcul direct

Calculer ∫[0;2] ( $3 𝑥^{2} - 4 𝑥 + 1$ ) dx.

Correction. Une primitive est $𝐹 (𝑥) = 𝑥^{3} - 2 𝑥^{2} + 𝑥$ . Donc $\int_{0}^{2} (3 𝑥^{2} - 4 𝑥 + 1) 𝑑 𝑖 𝑓 𝑥 = 𝐹 (2) - 𝐹 (0) = 8 - 8 + 2 = 2$ .

Exercice 2 · exponentielle

Calculer ∫[0;1] $𝑒^{𝑥}$ dx.

Correction. Une primitive de $𝑒^{𝑥}$ est $𝑒^{𝑥}$ . Ainsi $\int_{0}^{1} 𝑒^{𝑥} 𝑑 𝑖 𝑓 𝑥 = 𝑒^{1} - 𝑒^{0} = 𝑒 - 1$ .

Exercice 3 · aire

Soit $𝑓 (𝑥) = 𝑥 + 1$ sur [0;3]. Interpréter puis calculer l’aire sous la courbe.

Correction. Sur [0;3], $𝑓$ est positive. L’aire vaut $\int_{0}^{3} (𝑥 + 1) 𝑑 𝑖 𝑓 𝑥$ . Une primitive est $\frac{𝑥^{2}}{2} + 𝑥$ , donc l’aire vaut $\frac{9}{2} + 3 = \frac{15}{2}$ unités d’aire.

Exercice 4 · valeur moyenne

Trouver la valeur moyenne de $𝑓 (𝑥) = 2 𝑥$ sur [1;4].

Correction. On calcule $\int_{1}^{4} 2 𝑥 𝑑 𝑖 𝑓 𝑥 = [𝑥^{2}] [1; 4] = 16 - 1 = 15$ . La longueur de l’intervalle est $4 - 1 = 3$ , donc la valeur moyenne est $\frac{15}{3} = 5$ .

Méthode

Erreurs fréquentes à éviter.

Confondre une primitive avec l’intégrale finale : il faut calculer $𝐹 (𝑏) - 𝐹 (𝑎)$ .
Inverser les bornes ou oublier que $\int_{𝑏}^{𝑎} 𝑓 (𝑥) 𝑑 𝑖 𝑓 𝑥 = - \int_{𝑎}^{𝑏} 𝑓 (𝑥) 𝑑 𝑖 𝑓 𝑥$ .
Oublier les parenthèses lors du remplacement de la borne inférieure.
Dire “aire” alors que la fonction change de signe sans découper l’intervalle.
Oublier le facteur $\frac{1}{𝑏 - 𝑎}$ dans une valeur moyenne.

Continuer le parcours

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FAQ

Questions fréquentes sur les intégrales en terminale.

Quelle est la différence entre primitive et intégrale ?

Une primitive F vérifie $𝐹^{'} = 𝑓$ . L’intégrale entre $𝑎$ et $𝑏$ se calcule avec $𝐹 (𝑏) - 𝐹 (𝑎)$ .

Pourquoi une intégrale peut-elle représenter une aire ?

Si la fonction est positive sur l’intervalle, l’intégrale correspond à l’aire sous la courbe. Si elle change de signe, il faut préciser l’interprétation.

Comment réussir un exercice d’intégrales ?

Identifier le type de fonction, écrire une primitive, remplacer les bornes avec parenthèses, simplifier puis conclure avec l’unité ou l’interprétation demandée.

Quand demander un diagnostic CoursMission ?

Quand l’élève bloque sur le choix d’une primitive, le signe de l’aire, les bornes ou la rédaction d’une correction complète.

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